振动和波专项训练第一节简谐振动和单摆【例题精选】：例1：如图5-2所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，振动过程中A，B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为K。当物体离开平衡位置的位移为x时，A，B间摩擦力的大小等于。A．0B．KxC．D．答案：D分析：本题是简谐振动与牛顿运动定律中连接体问题的综合题。分析问题的思路是从简谐振动的回复力加速度回复力。应用牛顿运动定律分析连接体运动问题时，要注意两物体有没有共同的加速度，研究对象的选取有两种方法：隔离法和整体法。如图5-3所示，设A、B共同以O为平衡位置在C，D之间做简谐振动，位移为x时，两物体在OC之间，则两物体的加速度方向与x反方向，指向平衡位置O。A物体在水平方向受B给的水平向右的静摩擦力f（图5-4），f就是使A做简谐振动的回复力。B物体受弹簧给的水平向右的弹力F、A给的水平向左的静摩擦力就是使B做简谐振动的回复力。设加速度大小为a，分别取A，B为研究对像（隔离法），根据牛顿第二定律可得物体A：（1）物体B：（2）由于振子的位移大小与弹簧的形变大小相等，所以弹力F=Kx。又f与f大小相等，代入式（2）可得（3）由式（1）、（3）消去a可得如果取A，B整体（系统）为研究对象（整体法），则系统在水平方向只受弹簧的弹力F，根据牛顿第二定律可得由于F=Kx，所以（4）A，B之间相互作用的静摩擦力为系统的内力，在方程中并不出现，要求f，还需把A，B隔离，由式（4）式求出代入式（1）（或式（3））可得出同样的结果。小结：简谐振动中物体的位移、速度、加速度及所受的力都是矢量，分析振动物体的运动情况及讨论以上各物理量关系的方法，跟以前学习力学中所用过的方法相同。在分析问题时宜把大小和方向分开。在简谐振动中，振动物体的位移总是相对于平衡位置的，其方向由平衡位置指向物体所在位置；根据简谐振动的条件可知，回复力总是指向平衡位置；根据牛顿第二定律，物体的加速度与合力方向相同，因此加速度也指向平衡位置。在简谐振动中应用牛顿第二定律列方程时，宜取加速度方向为正，在分析问题时，先根据实际情况分析振动物体所受的力及加速度方向，设定表示各量大小的符号，然后取加速度方向为正方向列出方程。例2：若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的，则单摆做简谐振动的A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅减小C．频率不变，振幅增大D．频率改变，振幅不变答案：B分析：本题考查决定单摆的频率和振幅大小的因素，分析此题还需从决定两个物理量的因素谈起，频率和振幅是描述简谐振动的两个基本物理量，理论和实验表明，频率与振幅两者无关，频率是描述物体振动快慢的物理量，由振动系统自身因素决定，因此又称固有频率，弹簧振子的固有频率由弹簧的倔强系数和振子的质量决定；单摆的固有频率由摆长和重力加速度的大小决定。在本题中，变化前后的两个摆摆长相同，虽然没有直接表明重力加速度不变，但从命题的表述可知，新摆是在原摆的基础上加以变化，摆并没有移动位置，可认为重力加速度相同，因此可以肯定变化后的摆与原摆频率相同，或说频率不变。振幅是描述振动强弱的物理量，振幅的大小表征了振动系统能量的大小，同一系统能量越大，振幅越大。在光滑水平面上做简谐振动的单弹簧振子，由于除弹力做功外其它力没有做功，所以振动过程中机械能是守恒的。振动能量等于弹簧在最大形变时（）具有的势能，弹簧最大形变越大，振幅越大，振动能量越大。应当明确的是，对同一个弹簧振子，振幅越大，能量越大，但是对不同的弹簧振子进行比较，振幅大的能量不一定大，能量的大小还与弹簧的劲度系数有关。单摆作简谐振动时，由于只有重力做功，因此单摆振动时机械能也是守恒的。取摆球在平衡位置时的重力势能为零，则单摆振动的能量等于摆球运动到最高点时具有的重力势能，此时摆角最大，摆球的位移最大，最大位移等于振幅。如图5-5所示单摆，摆球以O为平衡位置在B，C之间作简谐振动，设摆球质量为m，摆长为l，最大摆角为（小于），则单摆振动的能量（1）振幅（2）对于确定的摆（m，l一定），在g一定的条件下，角越大，振幅越大，能量也越大。但是，对不同的摆（m或l不同）做比较，不能做出振幅越大能量越大的结论。本题中所给的摆，变动前后l相同，但质量不同，所以变动前后应看成两个不同的摆。设原摆摆球质量为m1，经过平衡位置时的速度为v1，则振动的能量（3）设最大摆角为则