立体几何基础题题库有详细答案立体几何基础题题库四（有详细答案）301.正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1.求证：AB1⊥CA1.解析：方法1如图，延长B1C1到D，使C1D＝B1C1.连CD、A1D.因AB1⊥BC1，故AB1⊥CD；又B1C1＝A1C1＝C1D，故∠B1A1D＝90°，于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD，因此AB1⊥A1C.方法2如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1，从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C.说明证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302.已知：正三棱柱ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段AB′在侧面上的射影长.解析：如图，取BC的中点D.∵AD⊥BC，侧面⊥底面ABC，∴AD⊥侧面是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴⊥BC′.设BB′＝x，在RtΔ中，BE∶BD＝，＝.∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝BC′＝∴x＝·，解得：x＝.∴线段AB′在侧面的射影长为.303.平面α外一点A在平面α内的射影是A′，BC在平面内，∠ABA′＝θ，，∠ABC＝，求证:cosγ＝cosθ·cosβ.解析：过A′作⊥BC于C′，连AC′.∵AA′⊥平面α，BC垂直AC在平面α内的射线.∴BC′⊥AC′，cos＝.又∵cosθ＝,cosβ＝，∴cos＝cosθ·cosβ.304.ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S′＝S·cosθ.证法一如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D⊥BC，垂足为D.∵AA′⊥平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC.∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又S′＝A′D·BC，S＝AD·BC，cosθ＝,∴S′＝S·cosθ.证法二如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′＝S·cosθ.305.求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面α，使PQ⊥平面α，且和AB交于R，连结AQ，交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α，MNα，∴PQ⊥MN.在平面APQ内，PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α，又∵PM＝MQ，∴AN＝NQ，同理可证NR∥b,RA＝RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.306.如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.解析：不难看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1M⊥AB1，只要能证A1M⊥AC1就可以了.证：连AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°，∴AC＝A1C1＝.设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β∴tanα＝＝＝,tgβ＝＝＝.∵cot(α+β)＝＝＝0,∴α+β＝90°即AC1⊥A1M.∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.∵AC1⊥A1M，∴由三垂线定理得A1M⊥AB1.评注：本题在证AC1⊥A1M时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.307.矩形ABCD，AB＝2，AD＝3，沿BD把ΔBCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CD⊥AB；(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明如图所示，∵CM⊥面ABD，AD⊥AB，∴CD⊥AB(2)解：∵CM⊥面ABD∴∠CDM为CD与平面ABD所成的角，cos∠CDM＝作CN⊥BD于N，连接MN，则MN⊥BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DM∶CD＝CD∶CA＝AB∶AD＝2∶3.∴CD与平面ABD所成角的余弦值为308.空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路