1．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．（1）四边形OECF的面积如何变化．（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．解：在梯形ABCD中由题设易得到：△ABD是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D作DE⊥BC，则DE=BD=2，BE=6．过点A作AF⊥BD于F，则AB=AD=4．故S梯形ABCD=12+4．2．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．解：四边形AFCE是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形．∴OA=OC，CE∥AF．∴∠ECO=∠FAO，∠AFO=∠CEO．∴△EOC≌△FOA，∴CE=AF．而CE∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF是垂直平分线，∴AE=CE．∴四边形AFCE是菱形．3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．19．证明：（1）△BDE≌△CDF．（2）由∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC知：矩形AEDF是正方形．4．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？解：四边形EBFD是平行四边形．在ABCD中，连结BD交AC于点O，则OB=OD，OA=OC．又∵AE=CF，∴OE=OF．∴四边形EBFD是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．【提示】把AF取作△AEF的底，AF边上的高等于AB＝3．由折叠过程知，EF经过矩形的对称中心，FD＝BE，AE＝CE＝AF．由此可以在△ABE中使用勾股定理求AE，即求得AF的长．【答案】如图，连结AC，交EF于点O，由折叠过程可知，OA＝OC，∴O点为矩形的对称中心．E、F关于O点对称，B、D也关于O点对称．∴BE＝FD，EC＝AF，由EC折叠后与EA重合，∴EC＝EA．设AF＝x，则BE＝FD＝AD－AF＝4－x，AE＝AF＝x．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即32＋(4－x)2＝x2．解得x＝．∴S△AEF＝×3×＝（cm2）故AF的长为cm，△AEF的面积为cm2．6．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．【提示】延长GP交BC于H，只要证PH＝PF即可，所以只要证∠PBF＝∠PBH．【答案】∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB．∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠EBD＝∠CBD．延长GP交BC于H点．∵PG⊥AD，∴PH⊥BC．∵PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上．∴PF＝PH．∵四边形ABHG中，∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°．∴四边形ABHG为矩形，∴AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF故PF＋PG＝AB．7．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．求证：AE、AF把∠BAC三等分．【提示】证出∠CAE＝30°即可．【答案】连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．∵四边形AEFC为菱形，∴EF∥AC．∴GE＝OB．∵四边形ABCD为正方形，∴OB⊥AC，∴OBGE，∵AE＝AC，OB＝BD＝AC，∴EG＝AE，∴∠EAG＝30°．∴∠BAE＝15°．在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，∴∠EAF＝∠FAC＝∠EAC＝15°∴∠EAB＝∠FAE＝∠FAC．即AE、AF将∠BAC三等分．8．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC＋∠FNC．【答案】∵BD为正方形ABCD的对称轴，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．同理∠FNC＝180°－2∠2．∴∠EMC＋∠FNC＝360°－2（∠1＋