1初等概率论习题课讲义专题一.一些组合计数模式在古典概率问题中的应用.1.多组组合模式有n个不同元素，要把它们分为k个不同的组，使得各组依次有121,,...,()kkiinnnnn个元素，则一共有12!!!...!knnnn种不同分法.2.不尽相异元素的排列模式有n个元素，属于k个不同的类，同类元素之间不可辨认，各类元素分别有121,,...,()kkiinnnnn个，要把它们排成一列，则一共有12!!!...!knnnn种不同排法.3.分球入盒问题第一类有n个不同的小球，要把它们分入k个不同的盒子，使得各盒依次有121,,...,()kkiinnnnn个小球，则一共有多少种不同分法？（注意此问题的两个特征：小球不同，盒子也不同）（12!!!...!knnnn）第二类有n个相同的小球，要把它们分入k个不同的盒子，一共有多少种不同分法？（1）允许空盒出现；（1nnkC）（2）不允许空盒出现.（11knC）第三类有n个不同的小球，要把它们分入k个相同的盒子，使得第ik个盒子有in个小球，11,mmiiiiikknkn，则一共有多少种不同分法？（11!(!)(!)imkiimiinnk）4.大间距组合问题设从数集1,2,...,n中选出k个不同的数11...kjjn，使之满足条件1(2,3,...,)iijjmik，m为正整数，且(1)kmn，求出不同的取法数目.（(1)knkmC）5.相异元素的圆排列和项链数将n个不同元素不分首尾排成一圈，称为n个相异元素的圆排列，则其排列总数为多少？（(1)!n）项链数：将n粒不同珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数为多少？2（n=1或2时为1，n>2时为(1)!n／２）６.有限集合计数的容斥原理：1111...(1)nnnnkkijkkkkijnAAAAA.（注意和概率论中加法公式进行类比和区分）习题：1.设有10只猫和4头猪随机地站成一行，求每两头猪之间都至少间隔两只猫的概率.2.将n条不同的手杖都截成一长一短两部分，然后将所得的2n个小段随机分成n对，每对连接成一条新的手杖，求以下事件的概率：（1）这2n个小段全部被重新组成原来的手杖；（2）均为长的部分和短的部分连接.3.找零钱问题：设有一台自动售票机销售地铁车票，票价为5元。有2n个乘客排队购票，每人手中只有5元或10元两种面值的人民币（每人只可能拥有这两种面值中的一种，且拥有哪一种是随机的）.设一开始自动售票机内没有任何人民币，则这2n个乘客可以顺利购票的概率为多大？所谓顺利购票，就是自动售票机在售票过程中不会出现不能找零的情形.专题二概率性质应用之几何概率二三谈1.设平面上画有一族间距为a的平行直线，向平面上随机抛掷一个直径为l的半圆形均匀钢片，其中la，试求塑料片与直线相交的概率？2.向画满间隔为a的平行直线的桌面上任意投放一个三角形，假定三角形三边长123,,lll均3小于a，试求此三角形与某直线相交的概率.专题三概率性质应用之解决抽象证明题及计算题1.已知：()()(),,cccPABPAPBCABCAB,证明：()()().PACPAPC2.设12,,...,nAAA为事件，而mB表示12,,...,nAAA中恰有m个事件发生.证明：.0()(1)nmkmmmkmkkPBCS其中，11...(...)kikkiiiinSPAA.3.证明对任意n个事件12,,...,nAAA，都有11()()1nnkkkkPAPAn.44.证明：