i2.2函数的值域与最值一、学习目标:考纲点击：掌握函数的值域的基本求法热点提示：求函数值域比求函数定义域要复杂得多，求值域常和求函数最值问题紧密相关，历届高考试卷中经常出现，要适当注意。近年偏向利用导数知识来求有关最值（极值）问题和抽象函数的取值问题。二、知识要点：求值域的常用方法1、观察法2、反函数法3、分离常数法4、配方法5、判别式法6、单调性法7、基本不等式法8、数形结合法9、导数法10、换元法三、课前检测：1.（09辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝_________2.（08四川卷）设定义在上的函数满足，若，则________3.（08江西）若函数的值域是，则函数的值域是____________4.（08陕西）定义在上的函数满足（），，则=__________5.（08江苏）对于总有≥0成立，则=．6.(08浙江）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___。四．经典例题：1、直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1求函数的值域（1）y=（2）y=3-2、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一，利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域与最值例2、求函数的值域（1）y=-2x+5，x[-1，2]（2）y=sin2x-6sinx+2（3）y=cos2x-6sinx+23、判别式法一般地，求形如y=的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x的一元二次方程：f(y)x2+g(y)x+ψ(y)=0,根据方程的判别式Δ＝g2(y)-4f(y)ψ(y)≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立；⑵由于在变形过程中涉及到去分母，应考虑函数的定义域是否为R；⑶f(y)≠0，应验证f(y)＝0的情况。否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。例3求函数y=的值域。4、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4求函数y=值域。5、函数有界性法:直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例5求函数y=的值域例6求函数的值域。(1)(2)y=6、函数单调性法利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。例7求函数y=（2≤x≤10）的值域例8求函数y=-的值域。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例9求函数y=x+的值域。例10求函数y=的值域例11求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈的值域8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例12求函数y=+的值域。例13求函数y=+的值域9、不等式法利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例14求函数y=的值域10、导数法例15求函数在区间上的最大值与最小值。例16求函数的值域五、当堂检测求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．2．函数的值域为．3．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则．4、已知（是常数），在上有最大值3，那么在上的最小值是5、函数在区间[－1，5]上的最大值是______6、已知函数的值域为[－1，4]，求常数的值。7、若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=．8、函数上的最大值与最小值之和为a,则a=