三、等价关系与划分定义2.14：设R是A上的等价关系,对于每个aA,与a等价的元素全体所组成的集合称为由a生成的关于R的等价类,记为[a]R,即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类的代表元。在不会引起误解的情况下,可把[a]R简记为[a]。定义2.15：设R是A上的一个等价关系,关于R的等价类全体所组成的集合族称为A上关于R的商集,记为A/R,即A/R={[a]|aA}。例：整数集I上的模2同余关系R，其等价类为[0],[1]。其中[0]={…,-4,-2,0,2,4,…}=[2]=[4]=[-2]=[-4]=…[1]={…,-3,-1,1,3,…}=[3]=[-1]=[-3]=…因此A/R={[0],[1]}例:整数集I上的模n同余关系是I上的等价关系。I上关于R的等价类为：[0]={…,-2n,-n,0,n,2n,…}[1]={…,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,…}…[n-1]={…,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,…}这些类又称I上模n同余类。I上关于R的商集I/R={[0],[1],…,[n-1]}定理2.13：设R是A上的等价关系,则(1)对任一aA,有a[a];(2)若aRb,则[a]=[b];(3)对a,bA,如果(a,b)R,则[a]∩[b]=;证明：(1)对任一aA，因为R是A上的等价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。(2)对a,bA,aRb,分别证明[a][b]，[b][a]。对任意x[a](目标证明x[b]，即xRb)。下面证明[b][a]对任意x[b](目标证明x[a]，即xRa)。(3)对a,bA,如果(a,b)R,则[a]∩[b]=采用反证法。假设[a]∩[b]≠，则至少存在x[a]∩[b]。例：设A={1,2,3,4}，R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)}为等价关系。其等价类为[1]={1,3}[2]={2,4}[3]={1,3}[4]={2,4}划分={[1],[2]}前面是给定等价关系唯一确定划分，反过来，给定一个划分，也可唯一确定一个等价关系。设非空集A上划分={A1,A2,…,An}，定义A上二元关系R：aRb当且仅当存在Ai,使得a,bAi。即R=(A1A1)∪(A2A2)∪…∪(AnAn)容易证明R是等价关系。定理2.14：集合A上的任一划分可以确定A上的一个等价关系R。例：设A={a,b,c}的一个划分={{a,b},{c}},由确定A上的一个等价关系R：R=({a,b}{a,b})∪({c}{c})={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)}定理2.15:设R1和R2是A上的等价关系,R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。定理2.13和定理2.15说明集合A上的任一等价关系可以唯一地确定A的一个划分。定理2.14和定理2.15说明集合A的任一划分可以唯一地确定A上的一个等价关系。集合A上给出一个划分和给出一个等价关系是没有什么实质区别的。设集合A上的等价关系为R1和R2,它们通过并和交运算而得到的关系是不是等价关系?若是,其对应的划分与原来的两个划分有何联系。四、划分的积与和1.划分的积定理2.16：设R1和R2是A上的等价关系,则R1∩R2是A上的等价关系。定义2.16：设R1和R2是A上的等价关系,由R1和R2确定的A的划分分别为1和2,A上的等价关系R1∩R2所确定的A的划分,称为1与2划分的积,记为1·2。定义2.17：设和'是A的划分,若'的每一块包含在的一块中,称'细分,或称'加细。例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2},{3,4}}因为{1}{1,2}，{2}{1,2}，{3,4}{3,4}，所以'细分若'细分,则与它们对应的二元关系R'和R它们之间有何联系？(1)若'细分,则与它们对应的二元关系R'和R满足R'R。证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R(2)若R'R，是否有'细分？证明：对任意S‘’,目标是SS‘S定理2.17：设',是A的划分,它们确定A上的等价关系分别为R,R',则'细分当且仅当R'R。定理2.18：设1,2是A的划分,则(1)1·2细分1与2。(2)设'是A的划分,若'细分1与2,则'细分1·2。证明：(1)设1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1·2对应的关系为R1∩R2。(2)设'对应