计算方法数值积分若函数f(x)在区间［a,b］上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿―莱布尼兹公式,来求定积分。从几何上瞧定积分图5、1图5、2梯形面积5、1牛顿―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立数值积分公式最基本得思想就是选取一个既简单又有足够精度得函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于就是有现用第四章介绍得插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有Newton-Cotes公式求Ak计算柯特斯系数12几个常用得牛顿-柯特斯公式表5―1柯特斯系数柯特斯系数C(n)i仅与n与i有关,与被积函数f(x)无关,且满足例1试分别用梯形公式与辛普森公式计算积分解:利用梯形公式5、1、2误差估计现对牛顿―柯特斯求积公式所产生得误差作一个分析。牛顿―柯特斯求积公式得余项为易知,牛顿―柯特斯求积公式对任何不高于n次得多项式就是准确成立得。这就是因为f(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡0代数精度一般说来,若某个求积公式对于次数不高于m得多项式都准确成立(即Rn(f)≡0),而对于某一次数为m+1得多项式并不准确成立(即Rn(f)≠0),则称这一求积公式得代数精度为m。牛顿―柯特斯求积公式得代数精度至少为n,若n为偶数,则至少具有n+1次代数精度。通常在基点个数相等得情况下,代数精度愈高,求积公式愈精确。梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有1、3、5次代数精度。例5、1分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算,n=1,2,3,4,5,并与用牛顿-莱布尼兹公式计算得结果进行比较。证由式知,梯形公式得余项为定理2(抛物线公式得误差)设f(x)在［a,b］上有连续得四阶导数,则抛物线公式得误差为如果在每个子区间上使用梯形公式,就得到复合梯形公式。将积分区间[a,b]N等分后得节点记为xk,xk=a+kh(k=0,1,2,…,N),在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,2,…,N-1)上应用梯形公式,再求与得:复合梯形公式:2、复合Simpson公式再求与得:复合Simpson公式:4、复合Simpson公式算法例5、2:利用数据表取n=4,用辛普森公式二、复合求积公式得余项例5.3用复合梯形公式、复合Simpson公式、复合Cotes公式在取相同节点的情况下，计算定积分的近似值。设把区间8等分。(2)用复合Simpson公式计算,相当于取N=4,把区间[0,1]N等分,然后在每个子区间上使用Simpson公式,(3)用复合Cotes公式计算,相当于取N=2,把区间[0,1]N等分,然后在每个子区间上使用Cotes公式,回顾:复合求积公式得余项一、变步长梯形公式改写上式得:二、变步长梯形公式算法同理,由复合辛普森公式得余项可得§5、4龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式龙贝格求积过程:龙贝格求积过程:T数表如果f(x)充分光滑,那么T数表每一列得元素及对角线元素均收敛到所求得积分值,即复合梯形公式得递推公式外推公式(3)将区间四等分k=2,h=(b-a)/4=3/2,(4)将区间八等分k=3,h=(b-a)/8=3/4,达到了精度要求,故取T0,3作为积分得近似值,即(2)第5章小结第6次作业(3)将区间四等分k=2,h=(b-a)/4=1/4,