§7.1NewtonCotes公式§7.0数值积分概述在积分区间[a,b]上取一系列点，设§7.1NewtonCotes公式系数还可以进一步表示：令x=a+th即有dx=hdt，故故求积公式可写为当n=1时，n=2可计算得到n=4Newton—Cotes公式为二、求积公式的代数精确度都能准确成立，而对于三、求积公式的截断误差由于是依赖于x的函数，且在[a,b]上连续，故运用积分中值定理，在[a,b]上存在一点使得：定理7.2：若f(x)在[a,b]上有四阶连续导数，则辛浦生求积公式的截断误差为：证明：由于辛浦生公式的代数精度为3，为此构造次数小于等于3的多项式，使满足：由于是依赖于x的函数，在[a,b]上连续，故可运用积分中值定理，在[a,b]上存在一点，使证毕类似地,若f(x)在[a,b]上有六阶连续导数，则柯特斯求积公式的截断误差为：四、Newton－Cotes公式的稳定性如果五、待定系数法则可通过给定的n+1个节点得到上述含n+1个未知数、n+1个方程的方程组。若求积节点互异，则例：确定求积公式故令求积公式对f(x)=x2成立,即§7.2复化求积公式一、常用的几种复化求积公式其中关于复化梯形公式的余项有如下定理：故由介值定理,一定在(a,b)有一点使2.复化辛浦生公式3.复化柯特斯公式例子1用积分计算ln2,要使所得积分近似值具有5位有效数字。问用复化梯形公式，复化Simpson公式时，至少要取多少个节点?其中其中由二、区间逐次分半求积法对梯形公式，假定区间分为N等份时，由公式假定f(x)有[a,b]上变化不大，即有，则类似的，还可以得到下面的结论：2.区间逐次分半的梯形公式据此我们得到复化梯形公式区间逐次分半时的递推计算公式：§7.3Romberg求积法（1）（2）上述用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为外推算法。得到Romberg序列后还可以继续外推，得到新的求积序列，称为Richardson外推算法。但由于在新的求积序列中，其线性组合的系数分别为：二、Romberg算法的实现对上面的T数表作计算，一直到Romberg序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。§7.4Gauss型求积公式一、Gauss型求积公式定理：插值型求积公式中的节点是高斯点的充要条件是，在[a,b]上，以这些点为零点的n+1次多项式与任意次数不超过n的多项式P(x)正交，即证明：充分性：所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。两条结论：当高斯点确定以后，高斯系数二、Legendre多项式例：一次Legendre多项式及其零点为：三、Gauss-Legendre求积公式实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意区间上的Gauss-Legendre求积公式。四、Gauss型求积公式的截断误差由于高斯型求积公式的代数精度为2n+1，故高斯型求积公式具有代数精度高、且总是收敛、稳定的优点。但当求积节点数增加时，前面的函数值不能在后面利用。因此，有时也可以将区间分化成若干个小区间，在每个小区间上应用低阶的Gauss型求积公式，即复化高斯求积公式。§7.5数值微分则有：中点公式：给出列表函数，可建立插值多项式，取作为的近似函数，则称为插值型求导公式。确定节点，上的导数值，有余项2.一阶三点公式3.二阶三点公式Remark1：在数值微分计算中，并非步长越小精度越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感，它随步长h的缩小而增大，导致计算不稳定。