§1．01正弦定理[教学目标](1)知识与技能：掌握正弦定理，并会用正弦定理解决与三角形有关的问题．(2)过程与方法：通过问题的解决，发现正弦定理，体会数学知识从特殊到一般的发展过程，明白正弦定理的应用条件．(3)情感态度价值观：体会从特殊到一般的认识规律．[教学重点]正弦定理的发现与证明．[教学难点]正弦定理的应用．[教学过程]一、问题情境从金字塔的建造到都江堰的修建,人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算,许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题.我们已经知道直角三角形中的边角关系,那么任意三角形的边和角之间存在怎样的关系?如何利用这些关系解决实际问题？下面看个实际问题图1－1如图1－1，要在河岸两侧A，B两点间架一座桥．由于环境因素不可直接测量A，B两点间的距离．在与A同侧的岸上又取了一点C，测量出∠BAC＝75º，∠ACB＝60º，A，C之间距离为100m．我们能否通过这些数据求出桥的长度呢？将该实际问题进行数学抽象：如图1－2，在△ABC中，已知∠BCA＝60º，∠BAC＝75º，AC＝100．求AB的长．BAC75º60º图1－2二、学生活动显然，∠B＝45º．作AD⊥BC，垂足为D．BACD图1－2因为AD＝ACsinC，AD＝ABsinB，所以ACsin60º＝ABsin45º．又AC＝100，所以AB＝50eq\r(6)，答：所要架的桥长为50eq\r(6)m．请大家回顾刚才的解题过程，你发现了问题解决的关键了吗？关键是:我们通过作高将一个我们不熟悉的斜三角形的问题转化为熟悉的直角三角形问题来求解．并抓住两个直角三角形有一条公共边AD.在Rt△ABD中，AD＝ABsinB；在Rt△ACD中，AD＝ACsinC．∴ACsinC＝ABsinB．三、意义建构如果我们将角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，上面的关系可以改写为bsinC＝csinB，那么可以得到eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即b与它所对角的正弦的比值等于c与它所对角的正弦的比值．这个关系式对一般情况都成立吗？分三种情况研究(1)角C为直角;(2)角C为锐角;(3)角C为钝角.四、数学理论由于对于所有的三角形，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.这个结论我们称之为正弦定理．对于任意的三角形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)恒成立，那么，这三个比值应该等于一个常数，这个常数是一个与三角形有关的常数还是无关的常数？结论：这个常数是一个与三角形有关的常数．ACBO通过对三角形的特殊化，我们发现：当三角形是直角三角形时，这个常数就是直角三角形的斜边，也即是三角形的外接圆的直径．那么，这个常数是三角形外接圆的直径长．即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)=2R注：以后如果不特别强调，在△ABC中，a，b，c分别指角A，B，C的对边．课后有兴趣的同学可以研究其他证法.五、数学应用例1在△ABC中，若a＝10，A＝30º，C＝45º，求b，c．解因为A＝30º，C＝45º，所以B＝105º．因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10sin105º,sin30º)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))，c＝eq\f(asinC,sinA)＝10eq\r(2)．例2根据下列条件解三角形：(1)b＝2，c＝eq\r(2)，B＝45º；(2)b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，B＝45º．解(1)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(1,2)．因为b＞c，所以B＞C，所以C＝30º．A＝180º－45º－30º＝105º，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\r(3)＋1．(2)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝60º或C＝120º