高中数学学案高中数学必修五知识点汇总第一章解三角形一、知识点总结正弦定理:abc1．正弦定理:2R(R为三角形外接圆的半径).sinAsinBsinC步骤1.证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinAab得到同理，在△ABCsinasinbcb中，sincsinb步骤2.abc证明：2RsinAsinBsinC如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.c所以sinDsinC2Rabc故2RsinAsinBsinC2.正弦定理的一些变式：abciabcsinAsinBsinC；iisinA,sinB,sinC；2R2R2Rabciiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；（4）2RsinAsinBsinC3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）4.在ABC中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b和角A，则由余弦定理得即可得出关于c的方程：c22bcosAcb2a20分析该方程的解的情况即三角形解的情况①△=0,则三角形有一解②△>0则三角形有两解③△<0则三角形无解余弦定理:高中数学学案a2b2c22bccosA1．余弦定理：b2a2c22accosBc2b2a22bacosCb2c2a2cosA2bca2c2b22.推论：cosB.2acb2a2c2cosC2ab设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90；②若a2b2c2，则C90；③若a2b2c2，则C90．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.S1ah1absinC1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径）2a2212.设p(abc),Sp(pa)(pb)(pc)(海伦公式)21例：已知三角形的三边为a、b、c，设p(abc)，求证：2（1）三角形的面积Sp(pa)(pb)(pc)；(pa)(pb)(pc)（2）r为三角形的内切圆半径，则rp2（3）把边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，则hp(pa)(pb)(pc)abcaa2hp(pa)(pb)(pc)bb2hp(pa)(pb)(pc)cca2b2c2证明：（1）根据余弦定理的推论：cosC2aba2b2c2由同角三角函数之间的关系，sinC1cos2C1()22ab高中数学学案1代入SabsinC，得21a2b2c2Sab1()222ab1(2ab)2(a2b2c2)241(2aba2b2c2)(2aba2b2c2)41(abc)(abc)(cab)(cab)41111记p(abc)，则可得到(bca)pa，(cab)pb，(abc)pc2222代入可证得公式1（2）三角形的面积S与三角形内切圆半径r之间有关系式S2prpr21S(pa)(pb)(pc)其中p(abc)，所以r2pp注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角111形面积的和故得：Sarbrcrpr2221（3）根据三角形面积公式Sah2a2S22所以，hp(pa)(pa)(pa)，即hp(pa)(pa)(pa)aaaaa22同理hp(pa)(pa)(pa)，hp(pa)(pa)(pa)bbcc【三角形中的常见结论】（1）ABC(2)sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,ABCABC