2017年东北师范大学概率论基础(跨学科加试)考研复试核心题库(-)说明：本资料为学员内部使用，整理汇编了2017考研复试重点题及历年复试常考题型。_、计算题1•求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求筋学期望和方差.(1)尸1(%)=成Jea|,,dr(a>0)；(2)¥)=：匚志d‘(a>0).［答案】(1)因为此分布的密度函数为事…'，-x<，<+8.所以此分布的特征函数为饥(，)=e"•e**dx+命Je山,e***ch=号］(coslx+isinlx)•e**dx+成J(costx+isintx)•eaidxcostxeatdx=—a又因为(0)=-£a所以E(X)=-r<p'(0)=0,Var(X)=E(X，)=#/：(0)2=—2a(2)因为此分布的密度函数为P后)=Í■•日所以此分布的特征函数为饥(，)=幸厂壬；T&=手厂普4位,irJX+attJoX4-a又因为当t>0时有广costx.宣-wLZTVfe.所以当1>0时有W)=W.那’"=e"•而当t<0时,有饥U)=饥(-()=ef,所以=专•=e-1".又因为心，)在t=0处不可导,故此分布(柯西分布)的数学期望不存在.2.已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是7.3XIO',标准差是().7XIO，.试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2XIO,至9.4X10,之间的概率的下界.【答案】记X为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知E(X)=7.3X109,"(X)=0.7X109.所以由切比雪夫不等式得P(5.2X10°<XV9.4XI09=〃(X-E(X)|<2.IX1甘)3.写出下列随机试验的样本空间：(1)抛三枚硬币；(2)抛三颗骰子；(3)连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；(4)口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个;(5)口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个【答案】(1)“=I(0,0,0),(0,0,1),(0,1.0),(1.0.()),(0,1,1).(1.0.1).(>.>.0).(*.>.')1»共含有2,=8个样本点，其中0表示反面，1表示正面，(3)中的0与]也是此意.(2)"=I(x,y,z):x.y.z=I,2,3,4,5,6：,共含有6'=216个样本点.(3)¡(1).(0.1),(0.0,1),(0.0,0,1),--,±t含有可列个g点.(4)”=｛黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红｝.(5)"=｛黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白｝.4.设曲线函数形式加…蛎,试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.【答案】令u=—,v=y,原函数化为v=a+bu.5.设总体t~W••上是来自该总体的一个样本.试确定常数c便。M3“-%)为/的无偏估计.【答案】由于总体X-N(“，/),这给出£(*)=</+¡JL2£(七人一】)=£(%,)£(叫-1),Í=I,2,・・・.n.于是y(X-X,)2)=E(x\+2xl+…+2土+-2x^2-…-2\/.)frí=[2(几-1)(+/a2)-2(n-1)/x2]=2(n-1)a".若要使，W(明-*)为『的无偏估计，即-X.)3)=尸.这给出*=1í*I1c=-------------2(«-1)6.用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值i=56.32，样本标准差s=0.22.(1)测量标准差吠小反映了测量仪表的精度，试求e的置信水平为0.95的置信区间;(2)求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间.【答案】(1)此处n-l)J=8*0.22,=0.3872,查表知■心(8)=2.1797,*：.m(8)=17.5345,『的—a置信区间为[.仪-，建-1)丁]=[P.-.387j.0.38721=g022,01776]i-挪117.5345'2.17971从而。的置信水平为0.95的置信区间[0.1487,0.4215](2)当0未知时，P的-a置信区间为-如5<n-1)1/Jñ,x+匕."(n-1)«/yñ]查表得，顷g,(8)=3.3554,因而U的置信水平为0.99的置信区间为[56.32-3.3554x0.22/#,56.32+3.3554x0.22/^9]=[56.0739.56.5661J.7.设K服从(1,6)上的均匀分布，求方程x2+Kx+1=0有实根的概率.【答案】方程x2+Kx+1=0有实根的充要条件