第四章根轨迹法§4—1根轨迹的基本概念则闭环传递函数为根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地实现高阶系统的性能分析和设计。根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从0→∞变化时，闭环极点的变化轨迹称为根轨迹。式中确定闭环极点的特征方程为由此可得系统的特征方程式为求解得出两个特征根为令参数K1在0→∞范围内变化，就可在复平面上得到根轨迹图。§4—2绘制根轨迹的依据和条件根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比较详细的绘制条件和规则。根轨迹的绘制条件相角条件相角条件是点Sd在根轨迹上的充要条件，满足相角条件，Sd必在根轨迹上。幅值条件可计算根轨迹上任意一点的根轨迹增益K1。§4—3绘制根轨迹的基本规则根据根轨迹的绘制条件和特征方程的性质可推出一些规则，利用这些规则，可以帮助我们迅速、方便地绘出根轨迹。规则一、根轨迹的形状根轨迹是连续的，且对称于实轴，共有n条。它们从开环极点出发，其中，m条终止于开环零点，n－m条趋向无穷远。其中n开环极点个数；m开环极点个数例4.1开环传递函数为k1(s+5)G0(s)＝————————s(s+4)(s^2+2s+2)逐步绘制出系统的根轨迹。解起点：p1=0，p2=-4，p3=-1+j1，p4=-1-j1，共四条根轨迹终点：z1=-5，另外三条趋向于无穷远用MATLAB指令：s=tf('s');G=(s+5)/[s*(s+4)*(s*s+2*s+2)];rlocus(G)绘出精确的根轨迹如图。与规则一吻合。规则二、实轴上的根轨迹在复平面中，实轴上的线段是根轨迹的条件是，在这些线段的右边的开环零、极点的个数之和为奇数。规则三、根轨迹的渐近线无穷远处根轨迹的切线称为根轨迹的渐近线。渐近线与实轴正方向的夹角称为渐近线的倾角，倾角的计算公式如下：则渐近线与实轴交点为证明：设任一渐近线与实轴交于σ点，则无穷远处的s点与所有开环零、极点的连线长度都近似相等。由幅值条件可得而把幅值条件直接展开可得由于s→∞，所以忽略以上两式中的低阶项，并将两式对比可得得证。例4.1的渐近线规则四、根轨迹的分离点和会合点由特征方程解出K1＝f(s)，通过令导数等于零，可求出分离点和会合点。即说明：在分离点和会合点处，K1是一定条件下的极限值，因此，可以通过令导数等于零，可求出分离点和会合点。例4.1的分离点和汇合点其中，s=-5.93是汇合点,s=-3.38是分离点，两个复数不在根轨迹上，舍去。规则五、根轨迹的出射角与入射角出射角：根轨迹在复数开环极点处的切线与正实轴方向的夹角入射角：根轨迹在复数开环零点处的切线与正实轴方向的夹角在复数开环极点处的出射角为在复数开环零点处的入射角为证明：设想在离开环极点p1处很近的地方找一点Sd，若该点在根轨迹上，则应满足相角条件，即因此可解出p1处的出射角例4.1的出射角规则六、根轨迹与虚轴的交点用s=jω代入特征方程求解，或利用劳斯判据可求出根轨迹与虚轴的交点。使用劳斯判据，列劳斯表根据劳斯表第三行的系数组成辅助方程§4—4参数根轨迹和多回路根轨迹一、参数根轨迹＊参数根轨迹：系统闭环极点随K1以外的参数变化而变化的轨迹。＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究的参数换到原来K1的位置，借助常规根轨迹的绘制方法，进行绘制。解系统闭环传递函数为实轴上的根轨迹：整个负实轴1.无论a取何值，系统都是稳定的。2.a较小时，系统有超调，且a越小，超调量越大。3.a＞0.494后，系统变得非常平稳。4.a越大，零点与一个极点抵消，主导极点远离虚轴，上升速性快。a的根轨迹，根轨迹上K11=8的地方是外环的部分开环极点。解得ω=2.64rad/s，K11=213.出射角：4.分离点：从特征方程中解出K1令K1对s的导数为零，得分离点为：s=-0.87,K1=3.06用幅值条件试探求得S1=-1和S2=-0.74为a=3/8,K1=3时的两个实数根，用长除法降阶后，可得另外两个共轭复数根§4—5正反馈系统的根轨迹二、正反馈系统根轨迹的绘制条件三、零度根轨迹的绘制规则例4.4单位正反馈系统开环传递函数为§4—6滞后系统的根轨迹相角条件说明：1.滞后系统有无数条根轨迹，且平行于实轴。其中对系统性能影响最大的是实轴附近的根轨迹。2.根轨迹起点除开环极点外，还有许多无穷远的起点。3.根轨迹终点除开环零点外，还有许多无穷远的终点。4.实轴上的根轨迹与常规根轨迹系统相同。因ω=0时，相角条件相同。5.常规根轨迹渐近线的计算方法对滞后根轨迹不适用。6.分离点满足：7.出射角、入射角，由滞后系统相角条