第二章作业：2.1用掷币实验产生信号。进行投币实验并规定正面对应250Hz的余弦波，反面对应250Hz的正弦波。可见实验有两种波形：x1(t)=cos(500πt)与x2(t)=sin(500πt)，该随机信号可记为：X(t,r)=π−πcos(500tI(r)/2)，I(r)是取值为0、1的等概随机变量。试求：（1）t=1ms时随机信号的概率密度与均值；（2）任意t时刻随机信号的概率密度与均值。解：（1）在t=1ms时刻，随机信号退化为随机变量，其形式为：X(t,r)|t0.001==π−π=πcos(5000.001I(r)/2)sin(I(r)/2)其取值有两种可能，即sin(0π=/2)0和sin(π/2)=1，且是等概率的，所以P[X(0.001)=0]===P[X(0.001)1]0.5其概率密度为fX(0.001)=δ+δ−0.5(x)0.5(x1)，均值为∞∞∞E[X(0.001)]==δ+δ−=xf(0.001)dxx0.5(x)dxx0.5(x1)dx0.5∫∫∫−∞X−∞−∞（2）任意t时刻随机信号退化为下面的随机变量：X(t,r)=cos(500π−tI(r)π/2)，它取值只可能为X(t,r)=π−π=πcos(500t/2)sin(500t)和X(t,r)=cos(500πt)，且是等概率的，所以此时概率密度为：fX(t)=δ−0.5(xsin(500π+δ−t))0.5(xcos(500πt))，均值为：∞∞∞E[X(t)]==δ−π+δ−πxf(t)dxx0.5(xsin(500t))dxx0.5(xcos(500t))dx∫∫−∞X−∞∫−∞=π+π0.5sin(500t)0.5cos(500t)显然：fX(0.001)=δ−0.5(xsin(500π0.001))+δ−0.5(xcos(500π0.001))=δ−+δ0.5(x1)0.5(x)E[X(0.001)]=π+π=0.5sin(5000.001)0.5cos(5000.001)0.52.2令X(t)=ωQsin(0t)为某单位电阻两端测得的随机电压，其中ω0为信号载频，Q为标准正态随机变量，试求电阻电压的瞬时统计平均值（X(t)的数学期望）、消耗在电阻上的瞬时功率的统计平均值（X(t)的均方值），消耗在电阻上的瞬时交流功率平均值（方差）？2.3已知随机信号X(t)=A2t，其中A为[1,1]−上均匀分布的随机变量，求t1s=时信号的一维概率密度函数f(x;1)X以及此时刻的均值（自行阅读教材第36~46页第1.5节内容完成此题）。2.4设随机信号为X(t)=ω+Θcos[0t]，其中确定量ω0为信号频率，Θ为在[0,π/4]上均匀分布的随机变量，讨论其宽平稳性和遍历性。2.5设随机信号为X(t)=ω+Θcos[0t]，其中确定量ω0为信号频率，Θ为在[0,2π]上均匀分布的随机变量，讨论其宽平稳性，并求解信号的一、二维概率密度函数（自行阅读教材第36~46页第1.5节内容完成此题）。2.6若A与B是两个独立的零均值高斯随机变量，方差均为σ2，则X(t)=Acosω+tBsinωt为高斯随机信号，求该信号的一维和二维概率密度函数。2.7证明广义平稳高斯信号必是严平稳的（用特征函数）。