理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．空间向量基本定理定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝___________，其中{a，b，c}叫做空间的一个_____，a，b，c都叫做_______．试一试：空间的基底是唯一的吗？提示由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.xe1＋ye2＋ze3试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？基底的选择为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夹角已知或易求．选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在该基底下的坐标．同一基底下的向量运算可以简化为坐标进行．一般情况下，选的基底是单位正交基底．空间向量的正交分解及其坐标表示的理解(1)建立空间直角坐标系O－xyz.分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量i，j，k，则{i，j，k}叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．(2)在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可记作a＝(a1，a2，a3)．空间中一点P(a，b，c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，－c)，P2(a，－b，c)，P3(－a，b，c)，P4(a，－b，－c)，P5(－a，b，－c)，P6(－a，－b，c)，P7(－a，－b，－c)．题型一基底的判断解假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面，规律方法判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．判断a，b，c三个向量是否共面，常用反证法，即判断三个向量是否满足a＝λb＋μb，若满足则共面，若不满足则不共面．以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．答案②③题型二用基底表示向量规律方法(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．【变式2】题型三求空间向量的坐标【题后反思】根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的线性关系式．三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．【变式3】误区警示坐标系建立不当致误在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．单击此处进入活页规范训练