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习题171.当x0时2xx2与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解因为,所以当x0时x2x3是高阶无穷小,即x2x3o(2xx2).2.当x1时无穷小1x和(1)1x3,(2)是否同阶？是否等价？解(1)因为,所以当x1时,1x和1x3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为,所以当x1时,1x和是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明:当x0时有:(1)arctanx~x;(2).证明(1)因为(提示:令yarctanx,则当x0时,y0),所以当x0时arctanx~x.(2)因为,所以当x0时,.4.利用等价无穷小的性质求下列极限:(1);(2)(n,m为正整数);(3);(4).解(1).(2).(3).(4)因为(x0),(x0),(x0),所以.5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)~自反性);(2)若~,则~对称性);(3)若~,~,则~传递性).证明(1),所以~;(2)若~,则,从而.因此~;(3)若~,~,.因此~.
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