浅议函数的奇偶性王店中学彭衍军内容摘要：本文主要探讨函数的奇偶性的定义、性质及其判断、函数按奇偶性的分内容摘要类，奇偶函数的图像特征以及函数奇偶性的应用等方面内容。关键词：奇函数偶函数函数的奇偶性对称数集函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一。它在代数，三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。一、关于函数的奇偶性的定义高中代数新教材（上册）（以下称教材），定义如下：⑴一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，f(x)=f(x)，那么函数f(x)就称偶函数；⑵一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就称奇函数；定义说明：定义说明：上述定义可等价地叙述为：对于函数f(x)的定义域内任意一个x：⑴f(x)=f(x)f(x)是偶函数；⑵f(x)=f(x)f(x)奇函数；理解定义是应用概念的前提，在教学中应注意引导学生认识以下两点：⑴、定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(x)±f(x)=0”成立，可见f(x)必有意义，即x也属于f(x)的定义域，即自变量x的取值要保持任意性。于是有，奇（偶）函数的定义域是一个对称数集（在数轴上表示为关于原点对称的点集）。如果将教材中函数f(x)=x2+1，f(x)=x的定义域分别改为R+与(3,3]，学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。也就是说：若一个函1数的定义域不对称，则此函数不是奇（偶）函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。⑵、定义中的等式f(x)=f(x)（或f(x)=f(x)）是定义域上的恒等式，而不是对部分x成立。如：函数f(x)=1(x≤1)(x>1)尽管当x+1x≤1时，都有f(x)=f(x),但它并是非偶函数。二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；③、可逆性：f(x)=f(x)f(x)是偶函数；f(x)=f(x)f(x)奇函数；④、等价性：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0f(x)=f(x)f(x)+f(x)=0⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断由前面可知，函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f(x)是否与f(x)、f(x)相第一种方法等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系f(x)=±f(x)哪个成立；（①、②分别是函数具有奇偶性的两个必要条件，若两个条件同时成立，联袂作2用，使成为湟跫?）具体步骤如下：若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系f(x)=±f(x)怎样成立？若f(x)=f(x)成立，则为偶函数；若f(x)=f(x)成立，则为奇函数；若f(x)=±f(x)成立，则为既是奇函数也是偶函数；若f(x)=±f(x)都不成立，则为非奇非偶函数。例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、f(x)=x3+2x（教材）⑶、f(x)=⑸、f(x)=⑵、f(x)=2x4+3x2（教材）⑷、f(x)=x⑹、f(x)=2x3x2x1x2+2xx∈[1,2]x21+1x2解：⑴为奇函数⑵为偶函数⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑶为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数f(x)=lg(x2+1+x+lgx2+1x的奇偶性)()学生解答：f(x)的定义域是R，当x∈R时，有x∈Rf(x)=lg(x)2+1+(x)+lg(=lgx2+1x+lgx2+1+x=f(x)()((x)2+1(x)))∴f(x)是偶函数。其实上速的解答是不完整的，事实上，f(x)=lgx2+1+x+lgx2+1x2=lgx2+1x2=lg1=0()()()3∵f(x)=0=f(x)且f(x)=0=f(x)∴既是奇函数也是偶函数。1、由此例题说明：若f(x)的定义域是对称数集且表达式较复杂，在能化简时后再按定义进行判断。例3：判断函数f(x)=lgx+(x2+1的奇偶性)