函数的奇偶性学案●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f（cosα）＞f（cosβ）B.f（sinα）＞f（cosβ）C.f（sinα）＞f（sinβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B4.已知（x）f＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，，a＝___________，2a］则b＝___________.解析：定义域应关于原点对称，1故有a－1＝－2a，得a＝.3又对于所给解鍪剑?f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.1答案：031；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+x2+1）.5.给定函数:①y=（x≠0）x在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f（0）＜f（－1）＜f（2）B.f（－1）＜f（0）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f（x）在［－2，0］上单调递减.∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［0，2］上单调递增.又f（－1）=f（1），故应选A.答案：A【例2】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·（3）f（x）=1+x；1?x1?x2；|x+2|?2?x(1?x)(x<0),（4）f（x）=??x(1+x)(x>0).剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.1+x（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以1?xf（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.?1?x2≥0,??1≤x≤1,得?由??|x+2|?2≠0,?x≠0且x≠?4.故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）=1?(?x)21?x21?x21?x2=，这时有f（－x）==－=－f（x），故f（x）为奇函x+2?2x?xx数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足