Gram-Schmidt正交化的一种计算方法及其在QR分解中的应用1.Gram-Schmidt正交化给定线性无关的一个向量组，则由其张成一个线性空间(αα12,,αn)V=span(αα12,,αn)。如何根据所给出的这个向量组写出这个线性空间中的一个标准正交基(ee12,,en)。可以看出比较困难的是如何使选出的向量组中的向量两两正交；至于标准化，选定两两正交的向量组后，各向量除以其范数即可得到。Gram-Schmidt正交化给出了一种解法：1.在给定的向量组中取第一个作为正交基中的第一个向量，并将其标准化；2.依次取给定向量组中后续的向量，减去其在已有标准正交基中的投影，并将其标准化，作为新的元素添加到标准正交基中，直至取完。用数学语言描述即为：w1we11=α;1=w1w2w2=−⋅αα221,;ee1e2=w2<1-1>n−1wnwn=−⋅=ααn∑ni,;eeieni=1wn由其算法可知，给定的线性无关的向量组中的每一个向量，αi,in=1,均是由构造出来的中的前个基向量的线性组合；由α的SOBi(ee1,i){i}n线性无关性可知：提供了与中前个向量均正交的分量，即其αiSOBi-1除去其在前个向量上的分量剩下的部分，由此类推可得出由α张i-1{i}n成的线性空间中的n个两两正交的向量。以上讨论可以看出，每取一个正交分量，即进行标准化。可将其运算过程稍加改动，有如下表达形式：w1we11=α;1=w1α21,ww2w22=−⋅=α2we1;2w1w2<1-2>n−1α,ww=−⋅=αninwnn∑2wein;i=1wiwn由此可以看出式中左右两边独立。即我们可以先求正交基，<1-2>{wi}n之后再将其标准化，得出。{ei}n2.Gram-Schmidt正交化的表格形式由式<1-2>可以将Gram-Schmidt的算法记成如下表格形式biwiα1α2αn−1αnb1w1a1,1a1,2a1,n−1a1,nb2w2a2,2a2,n−1a2,nbn−1wn−1ann−−1,1ann−1,bnwnann,其中α>2ji,,wjibwi=i;aij,=,i=1,nbjii,=其物理意义即为：正交元素基中向量范数的平方；给定向量bi-aij,-组中第个向量与正交向量组中第个分量的内积，由前面讨论jiαji,w已知给定向量组第j个向量仅是正交基中前j个向量的线性组合，故当时，均为零。为计算简洁起见，当时，我们定义为正交ji<αji,wji=基中第i个向量的范数。T记Aa=;,Bb=(b){ij,1}nn×n计算过程如下：取，则矩阵与第一行可轻易写出；1.w11=αAB可由矩阵的第列的前行与的前行得出：2.wii,=2,nAii-1Bi-1i−1aij,wii=−=α∑wij,2,nj=1bj由此即得正交基；w取=i，则得到标准正交基。3.ei{ei}naii,这种方法在手工运算上可以减少做题者很多不便。在工程应用计算机下，也可以提供一种清晰的编程思路。3.该形式在QR分解中的应用由矩阵论中的知识可知：对于任一n阶非奇异的矩阵M∈nn××(nn)，存在唯一的正交矩阵（酉矩阵）U和对角元素都大于0的上三角矩阵R满足：M=UR将记成列向量形式，即为一个向量组。对其采用表格MM=(αα12,,αn)形式进行Gram-Shmidt正交化，得到矩阵A，现对A的每一行非对角线的元素除以改行对角线的元素得到矩阵A，即aij,,ji<Aa={ij,,};aij=aii,=aij,,ji可知正交后的SOB为列向量所组成的向量组即为U：U=(ee12,,en)且有：RA=证明略。