第页共NUMPAGES4页对一个集合子集问题的思考与拓展江苏省梁丰高级中学(215600)张伟新问题：集合的某些子集满足条件：没有一个数是另一个数的2倍，问这样的子集中所含元素最多有几个？（1991年河南省数学竞赛题）本题由命题组给出了一种解法，这里不再重复，下面再给出另一种考虑问题的方法。因为每个正整数n都可写成（k为奇数，为非负数）的形式，把所有k值相同的n所成的集合记为，则是如下这些两两不相交的子集的并。，，，，，，，……，，，，……，，，，……，。其中，中有7个元素，中有6个元素，中有5个元素，、、中各有4个元素，、、…、中各有3个元素，、、…、中各有2个元素，、、…、中各有1个元素。设所求符合题设条件的集合为P，则在中最多取个元素，其中（表示的整数部分），则集合P中的元素为。即Card（P）＝67。为更清楚的说明这个方法，对上述问题作必要的拓展。拓展1：问题：集合的某些子集满足条件：没有一个数是另一个数的3倍，问这样的子集中所含元素最多有几个？每个正整数n都可写成（k不为3的倍数，为非负数）的形式，把所有k值相同的n所成的集合记为，则是如下这些两两不相交的子集的并。，，，，……，，，，，……，，，，，……，。其中，中有5个元素，中有4个元素，、、、、、中各有3个元素，、、…、、中各有2个元素，、、…、中各有1个元素。设所求符合题设条件的集合为P，则在中最多取个元素，其中（表示的整数部分），则集合P中的元素为。即Card（P）＝76。拓展2：问题：集合的某些子集满足条件：没有一个数是另一个数的m倍，问这样的子集中所含元素最多有几个？分析：由上面的拓展可知，m越大，集合P的元素越接近100，所以可以采用正难则反。考虑至少去掉多少元素来确定集合P中的元素的个数。即若是单元素集合，元素都保留；是二元素集合，至少去一个元素；是三元素集合，至少去一个元素；是四元素集合，至少去二个元素……；依次类推来确定集合P中的元素的个数。解：由于每个正整数n都可写成（k不为的倍数，为非负数）的形式，把所有k值相同的n所成的集合记为。由上面的分析可知：（1）当时，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉一个元素。则集合P中元素有99个。（2）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉二个元素。则集合P中元素有98个。（3）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉三个元素。则集合P中元素有97个。（4）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉四个元素。则集合P中元素有96个。（5）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉五个元素。则集合P中元素有95个。（6）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉六个元素。则集合P中元素有94个。（7）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉七个元素。则集合P中元素有93个。（8）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉八个元素。则集合P中元素有92个。（9）当时，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉九个元素。则集合P中元素有91个。（10）当时，是三元素集合，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉九个元素。则集合P中元素有91个。（11）当时，是三元素集合，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉十个元素。则集合P中元素有90个。（12）当时，是三元素集合，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉十一个元素。则集合P中元素有89个。（13）当时，，是三元素集合，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉十二个元素。则集合P中元素有88个。（14）当时，，是三元素集合，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉十四个元素。则集合P中元素有86个。（15）当时，是三元素集合，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉十六个元素。则集合P元素有84个。（16）当时，，是四元素集合，是三元素集合，，是二元素集合，其余均为单元素集合。因此至少去掉二十一个元素。则集合P元素有79个。江苏省梁丰高级中学邮编：215600E—mail：HYPERLINKmailto:Zhangwx@jslfgz.com.cnZhangwx@jslfgz.com.cn