重点难点重点：①映射与函数的概念．②函数的定义域、值域及求法．③分段函数．难点：复合函数及分段函数．知识归纳1．映射(1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的一个元素，在集合B中都有的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．2．函数(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为y＝f(x)．(2)近代定义：函数是由一个到另一个的映射．(3)函数的表示法有：理解函数概念还必须注意以下几点：①函数是一种特殊的映射，集合A、B都是非空的数的集合．②确定函数的映射是从定义域A到B(值域C⊆B)上的映射，允许A中的不同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在A中不能没有原象．③若两个函数的定义域、对应法则分别相同，称这两个函数相等．④函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个对应法则，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同．⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线．⑥对于以x为自变量的函数，f(a)的含义与f(x)的含义不同．f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量．(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，求f(x)的定义域，是指在x∈的条件下，求g(x)的值域．(3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．(4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．4．函数的值域(1)函数值域的定义在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(2)确定函数值域的原则①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合．②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定．(4)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：①直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．⑦单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．⑧求导法——当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值；⑨数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．误区警示1．映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射．2．判断两个函数是否为相等函数，关键看定义域和对应法则是否都相同．3．复合函数求定义域时，因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域与已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域混淆．4．解题过程中不要忽视定义域的限制作用致误5．不要忽视实际问题的实际意义的限制作用．6．换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围．7．判别式法求值域对端点要进行检验．8．利用均值不等式求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号．9．熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数．一、定义法用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．[例1]已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a为实数常数)的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．0个或1个解析：∵f(x)的定义域为[－1,5]，当a∈[－1,5]时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象必有一个交点，当a∉[－1,5]时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象无交点．根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于