排列、组合的应用问题与概率与统计18．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．若右图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总得分数、的程序框图．其中如果甲获胜，输入，；如果乙获胜，则输入．（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．注：“”，即为“”或为“”．【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填，第二个应填．…………………4分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填，第二个条件框填，或者第一、第二条件互换．都可以．（Ⅱ）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．有．解得或．…………………………………6分，．…………………………7分（Ⅲ）（解法一）依题意知，的所有可能值为2，4，6．…………………………8分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，．随机变量的分布列为：……………………………12分故．……………………………14分（解法二）依题意知，的所有可能值为2，4，6．…………………8分令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得，，．…………………12分随机变量的分布列为：故．…………………14分17．（本小题满分12分）某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。求：（1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；（2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值。解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：；…………2分获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：；…………5分设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：P（A）=；…………6分ξ30-a-70030p（2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为,,0,,…7分其分布列为：则：Eξ=；…………11分由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310元的奖品。…………12分17.（12分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为.（1）如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求的概率分布及；（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.17.解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1………1分的分布列为…4分10p==…………6分（2）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为……8分2…………10分依题意要求…11分∴………12分注：只写出扣1分例1袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．命题意图本题考查利用概率知识和期望的计算方法知识依托概率的计算及期望的概念的有关知识技巧与方法可借助n次独立重复试验概率公式计算概率解(Ⅰ)（i）(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，；由n次独立重复试验概率公式，得；（或）随机变量的分布列是0123P的数学期望是(Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球由，得例2如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工