2．1.1倾斜角与斜率(2)掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．活动一巩固直线的倾斜角与斜率的概念1.直线的倾斜角与斜率是如何定义的？2.如何证明三点共线？活动二探究直线倾斜角和斜率的关系探究：(1)直线的倾斜角α与斜率k存在怎样的关系？(2)直线的倾斜角α的变化对直线的斜率k的变化有怎样的影响？例1如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．直线的倾斜角和斜率都是反映该直线的倾斜程度，它们之间的关系是k＝tany2－y1α，而当知道直线上两点的坐标时，k＝(x1≠x2).x2－x1已知M(2m＋3，m)，N(m－2，1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3)当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________．活动三利用直线的倾斜角和斜率解决简单的问题例2已知两点A(－2，－3)，B(3，0)，过点P(－1，2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.ππ利用正切函数y＝tanx在区间0，∪，π上的图象及单调性来解决直线22的倾斜角和斜率之间的变化关系．1.(2023西宁阶段练习)如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论中正确的是()A.k3>k1>k2B.k1－k2<0C.k2k3>0D.k3>k2>k112.斜率为－(a∈R)的直线的倾斜角的取值范围是()a2＋1π3ππππ3πA.0，B.，πC.，D.，4442243.(多选)(2024大庆外国语学校开学质量检测)在平面直角坐标系中，下列说法中不正确的是()A.任意一条直线都有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tanαD.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°4.已知点P(x，－2)在A(－1，1)，B(1，7)两点所连的直线上，则实数x的值为________．5.如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．【参考答案与解析】2．1.1倾斜角与斜率(2)【活动方案】1.当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．2.如果已知三点A，B，C，可以取AB，BC，AC分别算出两点斜率，若三个斜率相等，则A，B，C三点共线．探究：(1)当直线的倾斜角α为锐角时，直线的斜率的符号为正，此时k＝tanα；当直线的倾斜角α为钝角时，直线的斜率的符号为负，此时k＝－tan(π－α)；当直线的倾斜角α为直角时，直线的斜率不存在．因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tanα.π0，(2)当倾斜角α∈2时，k≥0，且k随α的增大而增大；π当倾斜角α∈2，π时，k<0，且k随α的增大而增大；π当倾斜角α＝2时，k不存在．1－21例1直线AB的斜率k＝＝；AB－4－37－1－1－21直线BC的斜率k＝＝＝－；BC0－(－4)422－(－1)3直线CA的斜率k＝＝＝1.CA3－03>0及k>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由k<0可知，直线BC的由kABCABC倾斜角为钝角．m－1m－1跟踪训练1由题意，得k＝＝.MN(2m＋3)－(m－2)m＋5m－1(1)当倾斜角为锐角时，则k＝>0，MNm＋5解得m>1或m<－5.m－1(2)当倾斜角为钝角时，则k＝<0，MNm＋5解得－5<m<1.(3)当倾斜角为直角时，则k不存在，MN此时2m＋3＝m－2，解得m＝－5.>k>kα>α>α跟踪训练2k1233121例2由题意，得直线PA的斜率是k＝5,直线PB的斜率是k＝－.122当直线l由PA变化到与y轴平行位置PC时，它的倾斜角由锐角α(tanα＝5)增至90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)；当直线l由PC变化到PB位置时，它的倾斜角由90°增至