倾斜角与斜率[A级基础巩固]1．(多选)下列说法中，正确的是()A．直线的倾斜角为α，且tanα＞0，则α为锐角B．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sinα>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα解析：选AD对于A，因0°≤α＜180°，且tanα＞0，则α为锐角，A正确；对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sinα＝0，故C不正确，显然D正确．2．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在解析：选C由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.3．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点P(b，b＋c)和点Q(a，c＋a)的直线的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．135°解析：选B显然，经过点P和点Q的直线的斜率存在，由直线的斜率公式，得kPQ＝eq\f(（c＋a）－（b＋c）,a－b)＝1.又tan45°＝1，所以直线PQ的倾斜角为45°.故选B.4．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A．(－1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]解析：选D由图，可知当直线位于图中阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.5．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为()A．－2eq\r(3)B．0C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析：选B由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.故选B.6．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．解析：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)．由kPA＝1，得eq\f(0＋1,m－2)＝eq\f(n＋1,0－2)＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)．答案：(3，0)或(0，－3)7.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为eq\f(1,2)×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________．解析：由题意知kAB＝kBC，则eq\f(a2＋a,2－1)＝eq\f(a3－a2,3－2)，整理得a3－2a2－a＝0，又a>0，故有a2－2a－1＝0，解得a＝1＋eq\r(2)或a＝1－eq\r(2)(舍去)．答案：1＋eq\r(2)9．已知直线l上两点A(－2，3)，B(3，－2)，求其斜率．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝eq\f(1,2)时，b的值．解：由斜率公式得kAB＝eq\f(－2－3,3＋2)＝－1.∵C在l上，∴kAC＝－1，即eq\f(b－3,a＋2)＝－1.∴a＋b－1＝0.当a＝eq\f(1,2)时，b＝1－a＝eq\f(1,2).10．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解：如图，由题意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.[B级综合运用]11.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3