MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationChapter1Section1SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\r1\h\*MERGEFORMATSEQMTChap\r1\h\*MERGEFORMAT分块矩阵的方法、技巧与应用内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。这就是矩阵的分块。设是一个矩阵用若干横线将它分成s块，若干竖线将它分成r块,于是有的分块矩阵其中表示一个矩阵。关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵导言在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。2.1.分块矩阵的简介矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块，其中为矩阵块，为矩阵块。例:在矩阵中,代表2级单位矩阵,而,在矩阵中,,,,.在计算时,把,都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是其中把上述计算结果作为小块的元素代入,得到通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算，实现运算的优化。下面具体讨论矩阵分块方法。2.分块矩阵的加法和乘法设,把分成一些小矩阵:,(1),(2)其中每个是小矩阵.于是有,(3)其中再讨论矩阵线性运算的分块加法.设,把分成一些小矩阵:其中每个是小矩阵.设有，(4)其中，注意:在分块(1),(2)中矩阵A的列的分发必须与矩阵B的行的分发相同。可以看到，分块矩阵有许多方便之处。常常在分块之后，矩阵间的相互关系会看的更清楚。3.利用矩阵分块求逆矩阵其中，分别是级和级可逆矩阵，是矩阵，0是零矩阵.首先，因为，所以当A,B可逆时，D也可逆.设，于是，这里，分别表示k级和r级单位矩阵.乘出并比较等式两边，得由第一,二式得,代入第四式,得,代入第三式,得因此特别的,当时有一般的，形式为的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵，而形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵，是一种特殊情况。如果都是可逆矩阵,那么.4.分块矩阵的初等变换及应用和初等矩阵与初等变换的关系一样,用初等矩阵去乘分块矩阵,其结果就是对它进行相应的变换;;;.这就是分块矩阵的初等变换;同样,用初等矩阵去进行可能的右乘,也有相应的结果.下面通过举例来说明分块矩阵的初等变换的重要应用.例1可逆,求.由及易知例2设可逆,可逆,试试证明存在,并求.由而右端仍然可逆,故存在.在由例1,知例3证明行列式的乘积公式.作设为矩阵,作,着了为矩阵,除了第行和第列元素为外,其他元素皆为零.则由初等矩阵与初等变换的关系,易得右端为又由所对应的初等变换是某行加上另一行的倍数,它不改变行列式的值,故但的右端可经n个两列对换变成,故这就证明了.例4设且则有下三角矩阵使上三角矩阵.证明对n作归纳法.当时,一阶矩阵既是上三角形也是下三角形.故命题自然成立.设对命题为真,我们来看它仍然满足命题中所假设的条件.由归纳法假设,有下三角形矩阵满足上三角矩阵.对A作如下分块,则,再作这时矩阵以成为上三角形了.讲两次乘法结合起来就得到:此即所要求的下三角形矩阵.3.结语:本文主要论述了分块矩阵的基本应用，其中包括分块矩阵的加法与乘法的运算,利用分块矩阵求矩阵的逆矩阵，以及分块矩阵的初等变换的应用，除此之外分块矩阵在高等代数其它方面也有着重要的应用，比如说用分块矩阵证明矩阵乘积得秩，求矩阵的特征值等等。我们在这里就不作介绍了,大家有兴趣的可以自行研究,相信会有不一样的收获。对于同一个矩阵有着不同的分法，这就要求我们平时要善于观察，争取把矩阵的分块用到恰到好处,最大化的简化我们的计算,以及进行一些证明。当然，由于自己现在掌握的知识有限，所以本文的论述略显肤浅，希望大家指摘批评，提出自己的宝贵意见。致谢辞在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师祝清顺教员热情关怀和悉心指导。在我一学期的学习过程中，祝教员倾注了大量的心血和汗水，使我得到了悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严