矩阵及其应用曹虹【摘要】矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数的主要研究对象；在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用．本文介绍了矩阵的概念、分类及性质；讨论了它的加法，减法，数乘、方阵的行列式及矩阵的求逆和矩阵的分块等运算方法和运算规律等问题;简单说明了它在有些领域的应用.【关键字】矩阵性质运算规律行列式应用Abstract:Matrixisanimportantpartofmathematics，isthemainresearchobjectofthelinearalgebra；Innaturalscience，engineeringandtechnicalandeconomicfieldsarewidelyused．Thispaperintroducesthematrixoftheconcept，classificationandnature；Discussesitsaddition，subtraction，multiplication，squarenumberdeterminantsandmatrixinversematrixoftheblockandoperationalmethodsandoperationalrulessuchasproblem；etc．Simpleexplainsitinsomeareasofapplication．Keywords:MatrixPropertiesOperationruleThedeterminantApplication一、矩阵的概念已知n元线性方程组的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：这个有序矩阵数表完全确定了该线性方程组，对它的研究可以判断它的解的情况.定义1矩阵设个数排成行列的数表用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即,简记为.下面给出一些特殊矩阵：行矩阵m=1；列矩阵n=1；零矩阵(不同型的零矩阵是不同的)；⒋方阵，，称为n阶方阵．⒌单位矩阵；对角矩阵.二、矩阵的运算㈠、矩阵的加法⒈定义2设有两个mn矩阵，矩阵,称为矩阵A与B的和，记为A+B．注：①同型阵之间才能进行加法运算．②称矩阵-A=为矩阵A的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：．⒉运算规律：①交换律——；②结合律——；③；④A+O=A．㈡、数与矩阵相乘⒈定义3矩阵称为数与矩阵A的乘积，记为，或．⒉运算规律：①结合律——；②矩阵关于数加法的分配律——；③数关于矩阵加法的分配律——．注：利用数乘也可以定义负阵和减法．㈢、矩阵与矩阵相乘⒈定义4设是A一个ms矩阵，B是一个sn矩阵，记矩阵A与B的乘积，其中C是一个mn矩阵，，左矩阵的列数=右矩阵的列数．例1求矩阵的乘积．(ABij=第一个i行×第二个j列的元素之和)解：⒉矩阵的幂：定义4设A是n阶方阵，定义，k正整数．注：⑴只有方阵的幂才有意义．⑵矩阵乘法与实数乘法有不同的地方：①矩阵乘法不满足交换律，即；②有非零的零因子——上例A,BO，但BA=O．③不满足消去律——，，但．⒊运算规律：①结合律——；②数乘结合律——；③分配律——左分配律：；右分配律：；④乘单位阵不变——；⑤乘方的性质——；．㈣、矩阵的转置⒈定义5把矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵，记为AT．例如，的转置矩阵为．⒉矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律：①(转置再转置)——；②(和的转置)——；③(数乘的转置)——；④(乘积的转置)——．注：任一方阵A与它的转值的乘积与和都是对称阵．㈤、方阵的行列式⒈定义6方阵A的元素位置不变构成的行列式称为方阵A的行列式，记为或A．设，则.实际上，方阵的行列式若按其值分为两类：0或非0,若=0，则称为非奇异方阵，否则也奇异方阵．⒉运算规律①(转置阵的行列式)——；②(数乘的行列式)——；③(乘积的行列式)——．注：①，只是用去乘行列式的某一行或列，则是用遍乘每一行或列．②只有两个同阶方阵相乘时，③猜成立，即，因为后者就不存在；③虽然，但；④乘方的行列式性质：．⒊伴随矩阵由行列式各元素的代数余子式构成的矩阵称为A的伴随矩阵。可以得到：．三、逆矩阵㈠、定义⒈定义7对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵，记A的逆阵为．⒉定理n阶方阵A可逆的充要条件是，且可逆时．⒊推论若存在B，使得(或)，则A可逆，且B=．注：可逆的等价条件：A可逆(或)0是非奇异阵．逆矩阵的运算性质：①可逆阵A的逆矩阵仍可逆，且；②0时，可逆阵的数乘仍可