高中数学专题复习讲座关于求空间的角的问题例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点(1)求证四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角(1)证明如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形(2)解如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos另法（向量法）如图建立坐标系，则故A′C与DE所成角为arccos(3)解∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos另法（向量法）∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，如图建立坐标系，则，故AD与平面B′EDF所成的角是arccos(4)解如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中，sinOMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin另法（向量法）如图建立坐标系，则，所以面ABCD的法向量为下面求面B′EDF的法向量设，由∴∴故面B′EDF与面ABCD所成的角为例2如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°求(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值∴BD1与AC所成角的余弦值为例3如图，为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角(1)求证MN分别与α、β所成角相等；(2)求MN与β所成角(1)证明作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立(2)解设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=0解得sin2θ=,sinθ=，当sinθ=时，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°另法（向量法）如图设的法向量为，的法向量为，模均为1，由题意，，设，则，，，且所以＝或＝－所以，MN分别与α、β所成角相等学生巩固练习1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()ABCD2设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为