9.1扭转的概念与外力偶矩的计算9.1.1扭转的概念杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动。杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角，简称转角。工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。9.1.2外力偶矩的计算9.2扭矩与扭矩图9.2.1内力—扭矩9.2.2扭矩图【例9-1】齿轮轴如图所示。已知轴的转速为n＝300r/min，齿轮A输入功率PA＝50kW，齿轮B、C输出功率PB＝30kW，PC＝20kW。不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图。【分析】（1）计算作用在齿轮A、B、C上的外力偶矩MeA、MeB、MeCN·mN·mN·m（2）求各段截面上的扭矩（采用截面法）首先，沿截面q-q截开，取左侧部分为研究对象，如图（b）所示，求BA间截面上的扭矩Mx1ΣM1x＝0，MeB＋Mx1＝0Mx1＝－MeB＝－954.9N·m其次，沿截面r-r截开，取左侧部分为研究对象，如图（c）所示，求AC间截面上的扭矩Mx2ΣM2x＝0，MeB＋Mx2－MeA＝0Mx2＝MeA－MeB＝1591.5－954.9＝636.6N·m（3）画扭矩图根据以上计算的结果，按比例画扭矩图，如图（d）所示。9.3圆轴扭转变形时横截面上的应力9.3.1平面假设在变形微小的情况下，可以观察到下列现象：第一，两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形；第二，轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。根据观察到的现象，我们推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度。这就是扭转时的平面假设。根据平面假设，可得两点结论：（1）由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故截面上有剪应力存在。又因半径长度不变，剪应力方向必与半径垂直。（2）由于相邻截面的间距不变，所以横截面上没有正应力。9.3.2横截面上的剪应力9.3.2.1横截面上剪应力的分布规律9.3.2.3极惯性矩和抗扭截面系数【例9-2】一轴AB传递的功率P＝7.2kW，转速n＝360r/min。轴的AC段为实心圆截面，直径D＝32mm；CB段为空心圆截面，空心部分的直径d＝16mm，如图所示。试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。【分析】（1）计算扭矩N·m（2）计算极惯性矩AC段：mm4CB段：mm4（3）计算剪应力AC段横截面边缘处的剪应力:MPaCB段横截面外边缘处的剪应力:MPaCB段横截面内边缘处的剪应力:MPa9.4圆轴扭转时的变形式中:Mx——横截面上的扭矩；——两横截面间的距离；G——轴材料的切变模量；Iρ——横截面对圆心的极惯性矩。圆轴单位长度上的扭转角称为单位扭转角，用θ表示，即上式中，单位扭转角θ的单位是弧度/米（rad/m），工程上常用的单位是度/米（º/m），即【例9-3】在【例9-2】中，若轴AC段的长度是2m，并已知G＝80GPa。试求截面A相对于截面C的扭转角。【分析】rad9.5圆轴扭转时的强度和刚度计算9.5.1强度计算9.5.2刚度计算【例9-4】在【例9-3】中，已知轴的许用剪应力＝40MPa，许用扭转角＝0.5º/m，材料的切变模量G＝8×104MPa。试设计轴的直径。【分析】（1）最大扭矩由【例1】可知，|Mxmax|＝954.9N•m（2）按强度条件设计轴的直径由得:mm（3）按刚度条件设计轴的直径由得:mm要使轴同时满足强度条件和刚度条件，取轴的直径D≥51.14mm＝52mm。【例9-5】一空心传动轴的外直径D＝90mm，壁厚t＝2.5mm，轴的许用剪应力＝60MPa，许用扭转角＝1º/m，材料的切变模量G＝8×104MPa。若传递的最大力偶矩Memax＝170N•m，试校核空心轴的强度及刚度。若将空心轴变成实心轴，试按强度设计轴的直径，并比较两者的材料消耗。【分析】（1）校核强度轴各截面上的扭矩Mx＝Memax＝170N•mMpa因，所以该轴能满足强度要求。（2）校核刚度º/mm＝0.901º/m因，所以该轴能满足刚度要求。（3）若改为实心轴，按强度条件设计轴的直径mm（4）比较材料消耗空心轴和实心轴在相同条件下的材料消耗比就是截面面积之比，即该比值说明，空心轴的材料消耗仅为实心轴的32.4%，可节约材料三分之二，所以空心轴是比较经济的。在工程实际中，用钢管代替实心轴，不仅节约材料，还可减轻构件的重量。9.5.3提高圆轴扭转强度和刚度的措施要提高圆轴扭转时的强度和刚度，