ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志年第期２０１４１用三角代换证明条件为ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝的一类不等式１山东师范大学附属中学傅平修２５００１４文对含有条件ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝的不等式通证明由ａｂｃ＞且ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝令ａ［１］１，、、０，⇔１，过用ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ代替不等式中的用代数的方法进＝Ａｂ＝Ｂｃ＝ｃ其中ＡＢＣ是锐角ＡＢＣ的１，ｃｏｔ，ｃｏｔ，ｃｏｔ，、、△行了证明．联想到在ＡＢＣ中ＡＢ＋ＢＣ＋ａＡ△，ｃｏｔｃｏｔｃｏｔｃｏｔ三个内角由＝ｃｏｔ＝１ＡＣＡ＝可设ａ＝Ａｂ＝Ｂｃ＝Ｃ用三角，＋ａ２２Ａ＋ｓｉｎ２，ｃｏｔｃｏｔ１，ｃｏｔ，ｃｏｔ，ｃｏｔ，１ｃｏｔ１２代换的方法证明此类不等式．原不等式例设ａｂｃ＞且ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝．１、、０，１１Ａ＋１Ｂ＋１Ｃ３３ｂ２＋ｃ２ｃ２＋ａ２ａ２＋ｂ２⇔ｓｉｎ２ｓｉｎ２ｓｉｎ２≤求证＋＋．２２２４：ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋≥３１１１Ａ＋Ｂ＋Ｃ３３．证明由ａｂｃ＞且ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝令ａ＝⇔ｓｉｎ２ｓｉｎ２ｓｉｎ２≤①、、０，１，２Ａｂ＝Ｂｃ＝Ｃ其中ＡＢＣ是锐角ＡＢＣ的由Ａ＋Ｂ＋Ｃｃｏｔ，ｃｏｔ，ｃｏｔ，、、△ｓｉｎ２ｓｉｎ２ｓｉｎ２三个内角．则＝Ａ＋ＢＡ－Ｂ＋ＣＣ２ｓｉｎ（）ｃｏｓ（）２ｓｉｎｃｏｓ原不等式Ａ２Ｂ＋２Ｃ＋Ｂ２Ｃ＋＝Ｃ[Ａ－Ｂ－Ａ＋Ｂ]⇔ｓｉｎ（ｃｏｔｃｏｔ）ｓｉｎ（ｃｏｔ２ｓｉｎｃｏｓ（）ｃｏｓ（）２Ａ＋Ｃ２Ａ＋２Ｂ．æＡ＋Ｂ＋Ｃö３ｃｏｔ）ｓｉｎ（ｃｏｔｃｏｔ）≥３①＝ＡＢＣçｓｉｎｓｉｎｓｉｎ÷．Ａ＋Ｂ２２Ｃ４ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ≤４·èø由２Ａ＋２Ｂ（ｃｏｔｃｏｔ）＝ｓｉｎ．３ｃｏｔｃｏｔ≥２Ａ２ＢＡ＋Ｂ＋Ｃ２２ｓｉｎｓｉｎ据例式有ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ３２Ａ１②≤，所以式左边Ａｓｉｎ＋Ｂ３２①≥ｓｉｎ·２Ｂ２Ｃｓｉｎ·２ｓｉｎｓｉｎＡ＋Ｂ＋Ｃ所以ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ３３３＝３３．２Ｂ２Ｃ４·（）≤４·ｓｉｎ＋Ｃｓｉｎ３８２２Ａ２Ｃｓｉｎ·２Ａ２Ｂ因此原不等式得证．２ｓｉｎｓｉｎ２ｓｉｎｓｉｎ，５Ａ＋５Ｂ＋５Ｃ例设ａｂｃ＞且ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ求证＝ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ３、、０，，：２Ａ２Ｂ２Ｃ２ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ＋＋年韩国数学３１１１３．５Ａ５Ｂ５Ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２≤（１９９８ｓｉｎ·ｓｉｎ·ｓｉｎ１１１２≥３２Ａ２Ｂ２Ｃ奥林匹克２ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ）＝３×１证明由ａｂｃ＞且ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ１＋１３ＡＢＣ、、０，⇔ａｂｂｃ２ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ９×１．＋１＝令１＝Ａ１＝Ｂ１＝Ｃ其中ＡＢ≥Ａ＋Ｂ＋Ｃｃａ１，ａｃｏｔ，ｂｃｏｔ，ｃｃｏｔ，、、２ｓｉｎｓｉｎｓｉｎＣ是锐角ＡＢＣ的三个内角．令ｆｘ＝ｘｘπ所以ｆ′ｘ＝ｘ△（）ｓｉｎ，∈（０，），（）ｃｏｓ，２因为１＝１＝Ａｆ″ｘ＝－ｘ＜所以ｆｘ为凸函数．ｃｏｓ，（）ｓｉｎ０，（）＋ａ２＋２Ａ所以Ａ＋Ｂ＋Ｃ１１ｔａｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎ故１＋１＋１３Ａ＋Ｂ＋Ｃ≤＝３３．＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２２≤３ｓｉｎ②１１１３２Ａ＋Ｂ＋Ｃ３．所以９１９２＝．⇔ｃｏｓｃｏｓｃｏｓ≤①·Ａ＋Ｂ＋Ｃ≥·３２２ｓｉｎｓｉｎｓｉｎ２３３令ｆｘ＝ｘｘπ所以ｆ′ｘ＝－ｘ因此原不等式得证．（）ｃｏｓ，∈（０，），（）ｓｉｎ，，２ｆ″ｘ＝－ｘ＜所以ｆｘ为凸函数所以Ａ＋例设ａｂｃ＞且１＋１＋１＝１求证（）ｃｏｓ０，（），ｃｏｓ２、、０，ａｂｃａｂｃ，：Ａ＋Ｂ＋ＣＢ＋Ｃ＝３．即式成立因ａｂｃｃｏｓｃｏｓ≤３ｃｏｓ①，＋＋３３．３２ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋≤此原不等式得证．１１１４，４４中学数学杂志年第期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ２０１４１例设ａｂｃ是正实数且ａｂｃ＋ａ＋ｃ＝ｂ．证明４、、，：３－２Ａ－２Ｂ－２Ｃ（１ｃｏｓｃｏｓｃｏｓ）ｐ＝２－２＋３１０．２ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋≤ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ１１１３≥８（ｃｏｓｃｏｓｃｏｓｃｏｓｃｏｓｃｏｓ）据年越南数学奥林匹克题改编－２Ａ＋２Ｂ＋２Ｃ（１９９９）⇔９４（ｃｏｓｃｏｓｃｏｓ）证明令ｘ＝ａｙ＝－ｂｚ＝ｃＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ，，，≥８（ｃｏｓｃｏｓｃｏｓｃｏｓｃｏｓｃｏｓ）２Ａ＋２Ｂ＋２Ｃ＋ＡＢ则ａｂｃ＋ａ＋ｃ＝ｂｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙｚ１＋１＋１⇔９≥４（ｃｏｓｃｏｓｃｏｓ）８（ｃｏｓｃｏｓ⇔⇔ｘｙｙｚｚｘ＋ＢＣ＋ＣＡｃｏｓｃｏｓｃｏｓｃｏｓ）＝由ａｂｃ均为正实数１，、、，Ａ＋Ｂ＋Ｃ２９⇔（ｃｏｓｃｏｓｃｏｓ）≤令１＝Ａ１＝Ｂ１＝Ｃ其中ＡＢＣ是４ｘｃｏｔ，ｙｃｏｔ，ｚｃｏｔ，、、Ａ＋Ｂ＋Ｃ３．⇔ｃｏｓｃｏｓｃｏｓ≤④钝角ＡＢＣ的三个内角且Ｂ＞π．２△，据例知式成立．因此原不等式得证．２３④，则ａ