平面向量的基本定理及坐标表示走进高考第一关基础关教材回归1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的任意向量a,________一对实数λ1\,λ2,使a=___________________.其中,___________________叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个________的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中,分别取与x轴､y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数a1\,a2,使a=a1e1+a2e2.把有序数对________叫做向量a的坐标,记作a=________,其中________叫a在x轴上的坐标,________叫a在y轴上的坐标.②设=a1e1+a2e2,则__________________就是终点A的坐标,即若=(a1,a2),则A点坐标为________,反之亦成立(O是坐标原点).2.平面向量的坐标运算(1)加法､减法､数乘运算(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量________的坐标减去________的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=________⇔______________.考点陪练2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)3.(基础题,易)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-114.(基础题,易)已知向量a=(1,3),b=(-2,0),则|a+b|=________.答案:C解读高考第二关热点关类型一:平面向量基本定理及应用141516[评析](1)量基本定理设出未知向量,然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从而确定参数的值.(2)由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题.181920类型二:平面向量的坐标运算22[评析]由A､B､C三点坐标易求得､坐标,再根据向量坐标的定义就可以求出M､N的坐标.向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点､终点､相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”,运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用类型三:平面向量共线的坐标表示典例3平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求k;(4)若(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.2627[评析]向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此,很多几何问题,特别是像共线､共点等较难问题的证明,通过建立坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要证平行,只需相关向量共线,要证垂直,只需相关向量数量积等于0.笑对高考第三关成熟关名师纠错31[评析]平面向量基本定理如果e1,e2是一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1､λ2,使a=λ1e1+λ2e2,特别地,当a=0时,λ1=λ2=0,本题在a,b不共线时,就是根据这个定理得出的方程组.在平面向量的知识体系里,平面向量基本定理是基石,共线向量定理是重要工具,在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用,在使用平面向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线误区二:向量的坐标运算不准致误[剖析]本题最易出错的是向量的坐标运算,如计算向量x,y时,对数与向量的乘积只乘向量的一个坐标;以坐标形式的向量加减运算时,漏掉其中的某个坐标;当向量x,y垂直时数量积的运算错误,向量x,y平行时,向量的坐标之间的关系用错等.如把x∥y的条件是两个向量坐标交叉相乘之差等于零写成交叉之积的和等于零,即:(-2t2-1)(-+)+(t2+3)(--)=0,其结果是k=,这样只要给正数t一个大于的值,就得到一个正数k,其结果就是存在的.353637解题策略典例如图所示,已知点A(1,0)､B(0,2)､C(-1,-2),求以A､B､C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐