北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468初中数学竞赛辅导资料（31）勾股定理甲内容提要勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c22.勾股定理及逆定理的应用1.①作已知线段a的2，3，5……倍3.4.②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。k21k2+1②如果k是大于1的奇数，那么k,,是一组勾股数。22③如果k是大于2的偶数，那么k,KK1,+1是一组勾股数。2222④如果a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。乙例题例1.已知线段a求作线段5a分析一：5a＝5a＝4a+a222a5aa2a3a5a2a∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a＝9a4a22∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求对角线AC的长北京中考网—北达教育旗下门户网站www.beijing518.comD2CE电话010-627544681北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30∴CE＝2CD＝4，在Rt△ABE中设AB为x,则AE＝2x根据勾股定理x2+52=(2x)2,x2=253在Rt△ABC中，AC＝x+1＝22252+1＝2133A例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A求证：AB2－BC2＝AB×BC证明：作∠B的平分线交AC于D，则∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A＝∠C∴AD＝BD＝BC作BM⊥AC于M，则CM＝DMB222222AB－BC＝（BM＋AM）－（BM＋CM）＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）＝AC×AD＝AB×BC例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD求证：AB＝AC证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n则c+n=b+m,c-b=m-n∵AD⊥BC，根据勾股定理，得AD2＝c2-m2=b2-n2c∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)DMCAbC(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b)BmD(c+b)(c-b)－(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b∴AB＝AC例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF作DH⊥AB于H，根据勾股定理DjnCAH＝AD2-DH2，FH＝DF2-DH2EAHFB电话010-627544682∵AD＞BC，AD＞DF∴AH＞FH，EH＞BH北京中考网—北达教育旗下门户网站www.beijing518.com北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468DE＝DH+EH22，BD＝DH+BH2∴DE＞BD即AC＞BD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝AEDH23求：ba的值F解：根据勾股定理a2+b2=EF2＝SEFGH＝23;①∴2ab=BCG∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH13②①－②得（a-b）2=13∴ba＝33丙练习311.以下列数字为一边，写出一组勾股数：①7，＿＿，＿＿②8，＿＿，＿＿③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿⑤11，＿＿，＿＿⑥12，＿＿，＿＿2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：①252－242＝＿＿，②52＋122＝＿＿，③8+15＝＿＿＿，④25-15＝＿＿＿22223.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，