北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468初中数学竞赛辅导资料（38）平行和垂直甲内容提要一.证明两直线互相平行常用的定理①利用角同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。②利用第三线都平行或都垂直于第三线的两直线平行。③利用比例式△ABC中，如果ADAE=DBECDA那么DE∥BC④其他三角形中位线平行于第三边EB梯形中位线平行于两底C平行四边形对边平行二.证明两直线互相垂直常用的定理1.按垂直定义即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。直角是180o的一半，常见的180o有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。2.在三角形中证明直角①如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。②若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。③若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。④等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。⑤和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。3.菱形对角线互相垂直乙例题例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。已知：△ABC中，BD，CE是角平分线，AM⊥BD，AN⊥CE求证：MN∥BCA证明：分别延长AM，AN交BC于F，G则∠AMB＝∠BMF＝Rt∠∵∠1＝∠2，BM＝BMDEMN∴△AMB≌△FMB∴AM＝MF同理可证AN＝NG2∴MN是△AFG的中位线，1BCFG∴MN∥FG，即MN∥BC例2.已知：AD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，EG⊥BC交BC于GA求证：FG∥AC，AG⊥BE证明的要点：E∵BE是角平分线，F∴点E到∠ABC的两边距离相等，北京中考网—北达教育旗下门户网站www.beijing518.com电话010-627544681北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468即EA＝EGBDGC∵∠AFE，∠AEF分别是∠EBC，∠ABE的余角，∴∠AFE＝∠AEF得AF＝AE＝EG，且EG∥AF，故AFGE是菱形例3.已知：如图AD是等腰直角△ABC斜边上高BM，BN三等分∠ABC，CM延长线交AB于E求证：EN∥BMA证明要点：F根椐轴对称图形的性质NCM，CN也三等分∠ACBE1M点N是△ACE的内心，∴EN是∠AEC的平分线BDC∴∠1＝∠ABM＝30o例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形，AE交BD于M，CD交BE于NE求证：MN∥ACD证明：在等边△ABD和△BCE中NMAB＝BD，BC＝CE，∠ABD＝∠BCE＝60A∴BM∥CE∴oBCAMABBNBDAMBN＝，=，∴=MEBCNCCE`MECE∴MN∥AC例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PE⊥AB作PF⊥BCGCD4求证：PD⊥EF分析：要证明PD⊥EF，可证∠PMF＝90o先证∠1＋∠2＝90o∵∠2＋∠3＝90oHP12FM3BAE而∠1＝∠4只要证∠3＝∠4可用边角边证△BEF≌△GPD（证明略）例6.已知：⊙O和⊙Q相交于A，B，⊙Q经过点O，C是⊙O优弧AB上的一点，CB延长线交⊙Q于D，求证：DO⊥ACA证明：连结AB，作⊙O直径AE，DO延长线交FAC于F∵∠C＝∠E，∠D＝∠EABOQC∴∠CFD＝∠ABE＝Rt∠，∴DO⊥ACE丙练习38B1.四边形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，则AB∥CDD2.正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AE＝BF则AE⊥CF3.已知：平行四边形ABCD的AB＝2BC，E，F分别在BC和CB的延长线上且CE＝BF＝BC求证：AE⊥DF北京中考网—北达教育旗下门户网站www.beijing518.com电话010-627544682北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-627544684.分别以△ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和BCGH，求证AH＝CE，AH⊥CE5.已知：D，E，F是△ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且GD＝HE⊥AC，HE＝1AC，GD⊥BC，21BC2AEFD求证：△FDG≌△HEFFG⊥FH6.已知：在平行四边形ABCD中，∠A和∠B的平分线交于E，BC∠C和∠D的平分线相交于F求证：EF∥BC7.三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点这点叫做三角形的垂心，如图△ABC中，两条高AD和ABE交于H，那么H是△ABC的垂心D是△＿＿＿＿＿的垂心EHE是