北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468初中数学竞赛辅导资料（58）观察法甲内容提要数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系.一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n次方程有n个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.乙例题例1.解方程：x+11=a+.xa1.a解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知x=a；或x=观察本题的特点是：左边x可推广到：若方程f(x)+11=1,右边a=1.（常数1相同）.xamm=a+（am≠0），f(x)af(x)=则f(x)=a；如：方程x2+m.ax2+3x－55=a2+2,2xa2020=8(∵8=10－).10x+3x2都可以用上述方法解.例2.分解因式a3+b3+c3－3abc.分析：观察题目的特点，它是a,b,c的齐三次对称式.若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+b－c,必有b+c－a,c+a－b；若有因式a+b,必有b+c,c+a；若有因式b－c,必有c－a,a－b.解：∵用a=－b－c代入原式的值为零，∴有因式a+b+c.故可设a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].比较左右两边a3的系数，得m=1,比较abc的系数，得n=－1.∴a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)例3.解方程3+3+3+3+x=x.北京中考网—北达教育旗下门户网站www.beijing518.com电话010-627544681北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468分析：观察题目的特点猜想3+x=x用自身迭代验证：x=3+x=3+3+x=3+3+3+x=3+3+3+3+x.－解：∵x=3+x，可化为x2－x－3=0,∴x=1±13.2经检验113是增根.2∴原方程只有一个实数根x=1+13.2例4.求证：(xb)(xc)(xc)(xa)(xa)(xb)++=1.(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)证明：把等式看作是关于x的二次方程，最多只有两个实数根；但x=a,x=b,x=c，都能使等式成立，且知a≠b≠c，这样，方程就有三个解；∵方程的解的个数，超过了方程的次数.∴原等式是恒等式.证毕.例5.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形ABCD内接于圆，边长依次为25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（）（A）66.（B）65.（C）63.（D）62.2.直角梯形ABCD的垂腰AB=7，两底AD=2，BC=3，如果边AB上的一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似.这样的点P有几个？答：()(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.解：1.选(B)；2.选(C).1.观察数字的特征:∵25∶60∶65=5∶12∶13；39∶52∶65=3∶4∶5都是勾股数.∴直径等于65，故选(B)2.观察相似比可以是解得：x=2.8，ADAD或.设AP为x,BCPBx=1，或x=6.则2x2x=；或=.37x7x3共有三解.故选(C).ADD52CP656025A39B(2)(1)BC丙练习58北京中考网—北达教育旗下门户网站www.beijing518.com电话010-627544682北京中考网—北达教育旗下www.beijing518.com电话010-62754468一.填空题1.三角形的三边长分别为192，256，320.则最大角等于____度.2.化简48(72+1)(74+1)(78+1)……(72n+1)+1=______.3.方程x2－(4+3)x+3+3=0的两个解