方波的傅里叶分解与合成【实验目的】实验目的】1.用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波,并测量它们的振幅与相位关系.2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波.3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法.实验仪器】【实验仪器】FD-FLY-A型傅里叶分解与合成,示波器,电阻箱,电容箱,电感.实验原理】【实验原理】1.数学基础任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和,即:f(t)=∞1a0+∑(ancosnωt+bnsinnωt)2n=1其中:T为周期,ω为角频率.ω=a2π;第一项0为直流分量.T2f(t)h-T-T-h0Tth0f(t)t-h图1方波hf(t)=hf(t)=4h图2三角波所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量,基波和所有n阶谐波的迭加.如图1所示的方法可以写成:(0≤t<(T)2T≤t<0)2此方波为奇函数,它没有常数项.数学上可以证明此方波可表示为:111(sinωt+sin3ωt+sin5ωt+sin7ωt+)357π=4hπ∑(2n1)sin[(2n1)ωt]n=1∞1同样,对于如图2所示的三角波也可以表示为:TT4h(≤t<)Tt44f(t)=2tT3T2h(1)(≤t<)T448h111f(t)=2(sinωt2sin3ωt+2sin5ωt2sin7ωt+)π357=8hπ2∑(1)n=1∞n11sin(2n1)ωt(2n1)22.周期性波形傅里叶分解的选频电路我们用RLC串联谐振电路作为选频电路,对方波或三角波进行频谱分解.在示波器上显示这些被分解的波形,测量它们的相对振幅.我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形,确定基波与各次谐波的初相位关系.本仪器具有1KHz的方波和三角波供做傅里叶分解实验,方波和三角波的输出阻抗低,可以保证顺利地完成分解实验.实验原理图如图3所示.这是一个简单的RLC电路,其中R,C是可变的.L一般取0.1H～H范围.当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时,此电路将有最大的响应.谐振频率ω0为:ω0=1LC.这个响应的图3波形分解的RLC串联电路频带宽度以Q值来表示:Q=ω0LR.当Q值较大时,在ω0附近的频带宽度较狭窄,所以实验中我们应该选择Q值足够大,大到足够将基波与各次谐波分离出来.如果我们调节可变电容C,在nω0频率谐振,我们将从此周期性波形中选择出这个单元.它的值为:V(t)=bnsinnω0t,这时电阻R两端电压为:VR(t)=I0Rsin(nω0t+),此式中=tg=1bX,X为串联电路感抗和容抗之和I0=n,Z为串联电路的总阻抗.RZ在谐振状态X=0,此时,阻抗Z=r+R+RL+RC=r+R+RL,其中,r方波(或三角波)电源的内阻;R为取样电阻;L为电感的损耗电阻;RC为标准电容的损耗电阻(RC值常因较小而忽略)R.电感用良导体缠绕而成,由于趋肤效应,RL的数个将随频率的增加而增加.实验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz范围内,阻值不随频率变化.3.傅里叶级数的合成仪器可提供振幅和相位连续可调的1KHz,3KHz,5KHz,7KHz四组正弦波.如果将这四组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后,输入到加法器,叠加后,就可以分别合成出方波,三角波等波形.实验内容与步骤与步骤】【实验内容与步骤】方波的傅里叶分解1.先确定RLC串联电路对1KHz,3KHz,5KHz正弦波谐振时的电容值C1,C3,C5,并与理论值进行比较.实验中,观察在谐振状态时,电源总电压与电阻两端电压的关系.可从李萨如图为一直线,说明此时电路显示电阻性,接线图如下.(电感:L=0.1H(标准电感),理论值:Ci=1ωi2L)图4确定RLC电路谐振电容接线图2.将1KHz方波进行频谱分解,测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位,接线图如下.图5频谱分解接线图将1KHz方波输入到RLC串联电路,如图5所示.然后调节电容值至C1,C3,C5值附近,可以从示波器上读出只有可变电容调在C1,C3,C5时产生谐振,且可测得振幅分别为b1,b3,b5(这里只需比较基波和各次谐波的振幅比,所以只要读出同一量程下示波器上的峰值高度即可);而调节到其它电容值时,却没有谐振出现.3.相对振幅测量时,用分压原理校正系统误差.若:b3为3KHz谐波校正后振幅,b3为3KHz谐波未被校正时振幅.RL1为1KHz使用频率时损耗电阻.RL3为3KHz使用频率时损耗电阻,r为信号源内阻.则:'b3:b3