泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第五讲微积分中不等式的证明方法讨论课时数4教学目的通过教学使学生掌握利用函数的单调性证明不等式；利用拉格朗日中值定理证明不等式；利用函数的最值证明不等式；利用泰勒公式证明不等式；积分表示的不等式的证明重点难点1．利用函数的单调性证明不等式2．利用泰勒公式证明不等式3．积分表示的不等式的证明教学提纲第五讲微积分中不等式的证明方法讨论1.利用函数的单调性证明不等式若在上总有，则在单调增加；若在上总有，则在单调减少。2.利用拉格朗日中值定理证明不等式对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。3.利用函数的最值证明不等式令上连续，则存在最大值和最小值，那么：4.利用泰勒公式证明不等式如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。5.积分表示的不等式的证明教学过程与内容教学后记第五讲微积分中不等式的证明方法讨论不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法，有时需要两次甚至三次连续使用该方法。其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。1.利用函数的单调性证明不等式若在上总有，则在单调增加；若在上总有，则在单调减少。【评注】构造恰当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对进行分割，分别在小区间上讨论。例１：证明：当时，.【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【解】令，则，且.又，（），故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数，然后求导验证的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。例2：设,证明.【分析】即证【证明】设，则，,所以当x>e时，故单调减少，从而当时，，即当时，单调增加.因此当时，，即，故.【评注】本题也可设辅助函数为，请自己证明。例3：证明不等式：【分析】当时，两端都等于0，等号成立；应分两种情况讨论。即证：（1）（2）（3）下面的证明就简单了。例4：设，证明：【分析】该题的关键是设辅助函数，由多种设法（1）（2），当然，第二种设法更简单例5：设，证明【分析】辅助函数也有多种设法（1），（2），（3），当然，第三种设法更简单。【练习】设，证明不等式2.利用拉格朗日中值定理证明不等式对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。例6：证明：当0<b<a时，【分析】即证：【证明】令，在上使用拉格朗日中值定理，知存在所以，即，变形得证。例7：设,证明【证明】对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得下面证明设，则，当t>e时，所以单调减少，从而，即，故.例8：设，则【提示】证明，可构造3.利用函数的最值证明不等式令上连续，则存在最大值和最小值，那么：例9：设,证明证明：令，由得，球的惟一的驻点，，和1是在[0，1]上的最小值和最大值。所以：４..利用函数的凹凸性证明不等式（1）在上，若，则的图像是凹的，弦在图像的上方；（２）在上，若，则的图像是凸的，弦在图像的下方；例10:设,证明解：所以的图像是凹的，得证５.利用泰勒公式证明不等式（见第七讲）