2007年第6期牡丹江教育学院学报No16,2007(总第106期)JOURNALOFMUDANJIANGCOLLEGEOFEDUCATIONSerialNo1106微积分在证明不等式方面的应用喻为民(淮南联合大学,安徽淮南232001)[摘要]初等数学中证明不等式的常用方法一般来说比较讲究解题技巧。用微积分证明不等式,有时可大大降低对解题技巧的需要,简化解题过程。[关键词]微分中值定理;函数的单调性;极值判别法;凸函数法;泰勒公式;幂级数;变限积分法[中图分类号]O172[文献标识码]A[文章编号]1009-2323(2007)06-0144-02不等式的证明方法很多。初等数学中的常用方法有诸11+yf′(y)=1-1n(1+y)->0(y>0)如分析法、综合法、比较法、配方法、判别式法、反证法、参数21+y1+y法、数学归纳法、利用已知不等式法、换元法等等。[1],用21+y乘之,只要证上述方法种类多样,但一般来说比较讲究解题技巧。g(y)=21+y-1n(1+y)-2>0用微积分证明不等式相对于上述方法,有时可大大降低对11解题技巧的需要,简化解题过程。[2]又因g(0)=0,只要证g(y)=->01+y1+y微积分证明不等式,常用的有:微分中值定理、函数的(y>0)单调性、极值判别法、凸函数法、泰勒公式、幂级数、变限积而1+y<1+y(y>0)显然成立,故本题得证。分法,等等。以下对这些方法分别做一些介绍。二、利用函数的单调性证不等式一、利用微分中值定理如果f(x)在开区间(a,b)可导,且f′(x)≥0(或)f′如果函数f(x)同时满足:(x)>0,则在开区间(a,b)内任取x1<x2时,有f(x1)≤f①在[a,b]上连续,[3](x2)(或f(x1)<f(x2)),由此可获得不等式。②在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点c,使得|a+b||a||b|f(b)-f(a)例3求证≤+f′(c)=(3)1+|a+b|1+|a|1+|b|b-ax1由于定理中的是介于与之间的即在证:记f(x)=,则f′(x)=2>0cab,a<c<b,c1+x(1+x)与之间的变化可引起()式值的变化。[3]ab3x所以f(x)=是增函数,于是由|a+b|≤|a|+|b|例1求证当0<a<b时,不等式1+xb-ab-a|a+b||a|+|b|<arctgb-arctga<成立。知:≤1+b21+a21+|a+b|1+|a|+|b|证:函数f(x)=arctgx在[a,b]上满足微分中值定理|a||b|=+的条件,有1+|a|+|b|1+|a|+|b|b-a≤|a||b|arctgb-arctga=(arctgx)′|x=c(b-a)=(a<c<b)+1+c21+|a|1+|b|b-ab-ab-a三、利用极值方法证不等式<<1+b21+c21+a2若要证明f(x)≥g(x),只要求函数F(x)=f(x)-[3]b-ab-ag(x)的极值,证明F(x)min≥0即可。∴<arctgb-arctga<1+b21+a2例4设a>1n2-1为任意常数,求证:x2-2ax+1<另外,(3)式又常写成:ex(x>0时)成立。f(x)=f(a)+f′(c)(x-a)(c∈(a,b))证:问题在于证明f(x)=ex-x2+2ax-1>0(x>0故当f(a)=0,(a,b)内f′(x)>0时,有f(x)>0(Px时)∈(a,b])因f(0)=0,所以只要证f′(x)=ex-2x+2a>0(x>0这种原理在证不等式时也常用。[3]时)即可,11问题又转化为证明f′(x)min>0即可。例2求证>1n2(1+)(x>0)x(1+x)x令f″(x)=ex-2=01得唯一稳定点x=1n2证:令y=,则x>0时,y>0,不等式又写成x当x<1n2时,f″(x)<0y-1+y1n(1+y)>0当x>1n2时,f″(x)>0,因f(0)=0,故只要证所以f′(x)min=f′(1n2)=2-21n2+2a[收稿日期]2007-07-28[作者简介]喻为民(1968-),男,上海人,淮南联合大学讲师,主要从事微积分、线性代数、概率统计学的教学和研究。·144·=2(1-1n2)+2a>0证毕。[3]因f(0)=f′(0)=f″(0)=0四、利用凸函数法证不等式而fÊ(x)=sin(x)(5sec2x-1)+bsin3xsec4x>0若函数f(x)在(a,b)内是严格下(上)凸函数,其充要π故f(x)>0(当x∈(0,)时),原式得证。条件是f″(x)≥0(f″(x)≤0),x∈(a,b)[