现代商贸工业No.20,2009ModernBusinessTradeIndustry2009年第20期高等数学中微积分证明不等式的探讨柴云(南京晓庄学院数学系,江苏南京211171)摘要:不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一。众所周知不等式的证明在高等数学中起着重要的作用。同时,不等式证明的教学对发展学生的数学思维,培养逻辑思维能力起着非常重要的作用,证明不等式没有固定的模式,方法因题而异,灵活多变,技巧性强。将利用函数的单调性、函数极值及拉格朗日中值定理等证明一些与函数有关的不等式,通过几个例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同中值定理在解决的不等式的区别。关键词:不等式;微积分;证明;方法中图分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:167223198(2009)20202442041利用导数定义证明不等式证明:由f′(x)=a1cosx+2a2cos2x+⋯+nancosnx。得f′(0)=a1+2a2+⋯+nan。例1设函数f(x)=a1sinx+a2sin2x+⋯+ansinx,其f(x)-f(0)中a1,a2⋯an都为实数,n为正整数,已知对于一切实数x,利用导数的定义得:|f′(0)|=|lim|=x→0x-0有|f(x)|≤|sinx|,试证:|a1+2a2+⋯+nan|≤1。f(x)f(x)分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,需|lim|=lim||。x→0xx→0x要仔细分析它们之间的关系,可以看出:a1+2a2+⋯+nansinx∵|f(x)|≤|sinx|∴|f′(0)|≤lim||=1。=f′(0)。于是问题可以转化为证明|f′(0)|≤1。x→0x大量的黄金白银,形成了一批制造业中心。的现代化,新的重商主义理论对于指导我国经济转型仍具第二,促使20世纪世界经济格局发生变化。在汉密尔有很强的实践性。顿和李斯特的倡导下,美国、德国实行重商主义政策,在工(1)促进各行业、各区域协调发展。目前,我国经济的业化的进程中逐渐赶超了英美等老牌资本主义强国,在20现状是呈现二元、多元结构,东西地域差距也很明显,落后世纪初已经成为世界上举足轻重的强国。此外,还有俄国、地区面临赶超先进地区的任务。政策面临着运用现有的工日本分别通过重商主义政策的实施短期内摆脱了落后的局业结构布局,发挥好商贸的沟通作用,协调省际、区际之间面,二战后崛起于强国之林。统一发展水平上的水平分工和不同发展水平上的垂直分工3中西重商主义的比较分析的任务。既要充分发挥各省、各区域的绝对优势和比较优首先,任务不同。晚清的重商主义是出于救亡图存,而势,又要杜绝重复建设、提倡节约和注重效率。西欧的重商主义是处于加速资本原始积累发展资本主义的。(2)扶持战略性产业的发展。对于关系国家安全、攸关其次,作用不同。晚清重商主义的主张是在封建皇权容国计民生的战略性产业、前期发展需要大量资金投入后期许的范围内的调整,作用相当有限。西欧的重商主义作为国又呈现很强的外部经济特征的新技术产业等,国家应当给家政策实施,通过发展工业、海外贸易积累了财富。为工业与保护和扶持,帮助这些产业成长起来并形成竞争优势。革命的产生准备了条件,使得资本主义向垄断阶段迈进。(3)防范金融风险。金融全球化的今天,各种金融衍生再次,影响不同。晚清重商主义思想虽缘于西欧但显然工具的出现和运用在增强资本的流动性、为规避风险提供落后于西欧重商主义,它思想庞杂,未成为独立的理论体系。对冲工具的同时,也增加了金融风险的不可测性。国际游晚清重商主义思想带有明显的民族反侵略的特色从最初的资冲击一国经济将是牵一发而动全身的效果,一国增加外单纯强调发展商业到提倡走工业化道路是不断进步的,只是汇储备(财富)对于风险防范极为重要的。囿于半殖民地和半封建的国家性质最终夭折了。西欧重商参考文献主义对于经济理论和实践的贡献都是晚清重商主义所无法比拟的,尤其它指导了美、德、俄、日赶超老牌资本主义国家屹[1]叶世昌.古代中国经济思想史[M].上海:复旦大学出版社,2003.[2]托马斯·孟.英国的字对外贸易的财富[M].北京:商务印书馆,立于强国之林,影响了20世纪的世界经济格局。1959.4重商主义对我国当前经济转型的启示[3]约瑟夫·熊彼特.经济分析史[M].北京:商务印书馆,1994.随着社会主义经济建设实践的发展以及重商主义理论基金项目:本文系浙江工商大学校级课题(1090KU108049)。作者简介:柴云(1986-),女,本科,南京晓庄学院数学系学生,主要研修方向:微积分方向。—244—现代商贸工业No.20,2009ModernBusiness