利用微积分证明不等式（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）利用微积分证明不等式摘要对于不等式证明的方法有很多，利用微积分的知识来证明不失为一个简单易掌握的方法，本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例，对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳。关键词不等式；导数；定积分引言不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法.例如，数形结合的思想，转化的思想，类比的思想，分类讨论思想，建模的思想.不等式同时也是高中知识的一个重要的章节，高中时就学习了很多基本的不等式证明方法.例如，求导证明，利用简单的微积分证明.不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位，是教学的一个重点，也是学习的一个难点，本文应用微积分的有关概念，定理，结合典型实例，对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳.1.利用微分中值定理（拉格朗日中值定理）证明不等式定理1若函数f满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续，（ⅱ）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得这里没有给出的确切位置，而对于不等式而言，也不必精确.因此可用中值定理证，这时的关键是选择及区间.例1.1若，试证.证设.当时，在上满足拉格朗日中值定理,所以,而,.,于是.例1.2若x>0,试证：.证设,因在上满足拉格朗日中值定理,.又,.即.利用微分中值定理证明不等式时，要抓住定理的核心，在满足定理的两个条件下，主要是利用“存在一点”，即来确定不等式关系，关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间.2．利用函数的单调性证明不等式函数的单调性，在微积分中用导数来判定.定理2设函数在区间上可导，如果对任意的，恒有(或)则f(x)在内单调增加（或单调减少）.例2.1证明不等式，其中.证(i)设.当x>0时，.单调减少..(ii)当,..，.例2.2证明：.证设..（无法判断的符号）.,,,,即.利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，这是解题的关键.此时，只须证明或，而要证明或，首先求，判断还是再使用定理.3．利用泰勒公式证明不等式一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式（或麦克劳林公式）.定理3（泰勒定理）若函数f满足如下条件：(i)在开区间上函数f存在直到n阶导数，(ii)在闭区间上存在f的n+1阶导数，则对任何,至少存在一点，使得例3.1若在内，则对任意几个点，试证有不等式.证将介在展开,,有.,（1）对（1）式中分别取,得到=1,2,…n.将上面的n个不等式两边分别相加得，即.例3.2设>-1,证明（i）在,；(ii)在a<0或a>1时，.证设,.，则的麦克劳林展式为介于0与之间.即.（2）（i）时，（2）式第三项非正..(ii)在a<0或a>1时,（2）式第三项非负.泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式，从而利用它的局部展开式证明不等式.4．利用函数的凹凸性证明不等式由定义及判别法有：在某区间上凹（或下凹），也即（或），由此可证明一些不等式，特别是含两个或两个以上变元的.例4.1已知，且.试证：.证令,，..,,..例4.2证明：证设,，即.5.利用积分知识证明不等式性质1设在区间上都是可积函数，如果在区间上满足，则有.求证.证,.,根据性质1,.即.使用性质1证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分，这时，只须比较这两个函数在区间上的大小，在利用定积分的性质.性质2如果在上的最大值和最小值分别为和，则.例5.2已知在内连续，，设在区间内的最大值和最小值分别为,.试证：.证当时,由性质2得..又..即.结语：高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的5种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论.其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往往能让问题变的简单起来.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.10.[2]尹建华.利用微积分证明不等式[J].承德民办师专学报.2001,5.第21卷2期:8-9.:44-46.[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992,7.TheProveOfInequationByMeamsOfCalculousAndDifferentialYuJianShengTutor,WuXiaoAbstract: