不等式性质例1：比较与的大小，其中。解：，，∴。说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①；②；③。例2：比较与的大小，其中。解：∴当时，；当时，说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0。最后得结论。概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键。[来源:学科网]例3：，比较与的大小。分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差。解：∵=（），，∴。则有时，（）恒成立。说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差。例4：设，比较与的大小。解：作差，当时，即，∴；当，即时，，∴；当但，即或时，，∴。说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号。此时要注意分类合理恰当。例5：比较与的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解：说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行。例6：设，且，比较：与的大小。分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。解：当时，，当时，，即，又，说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.例7：实数满足条件：①；②；③，则有（）A、B、C、D、分析：先由条件②③分析出与的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小。[来源:学_科_网Z_X_X_K]解：∵，∴与同侧∵，∴与异侧∵∴把标在数轴上，只有下面一种情况由此得出，∴此题选D。说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用。例8：已知①；②，求：的取值范围。分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围。分为两步来进行：先利用待定系数法将代数式用和表示；再利用不等式性质及题目条件确定的范围。解：设：由①—②2得：，：。说明：此题的一种典型错误做法，如下：，即：，：，此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围。避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程。例9：判断下列各命题的真假，并说明理由。（1）若，则[来源:学科网]（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）若，则分析：利用不等式的性质来判断命题的真假。[来源:学科网]解：（1），是真命题。（2）可用赋值法：，有，是假命题。也可这样说明：，∵，只能确定，但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有：（3）与（2）类似，由，从而是假命题。（4）取特殊值：有，∴是假命题。定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立。只有异向不等式可相减，即（5），∴是真命题。（6）定理4成立的条件为必须是正数。举反例：，则有说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件。要说明一个命题是假命题可通过举反例。例10：求证：分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理。证明：利用不等式的性质，得例11：若，则下面不等式中成立的一个是（）A、B、C、D、解：由不等式性质知：成立的条件都不充分，所以选，其实正是异向不等式相减的结果。说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用。例12：若，则下面各式中恒成立的是（）A、B、C、D、分析：本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，，继而得到且，故，因此选A。例13：若，则一定成立的不等式是（）A、B、C、D、分析：A错，当时有；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对，故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是），原不等式成立。说明：这类题可以采用特例法：令即得C成立。例14：已知：，求证：。分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理。证明：又∴由同向加得：。说明：此题还可采用异向减性来处理：做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用