扬州大学2023年硕士研究生招生考试初试试题（A卷）科目代码840科目名称数学分析与高等代数综合满分150分注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！数学分析部分(75分)11一.(10分)求极限lim().lnxx1x1sin二.(10分)计算2d.0sincos三.(10分)若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.证明存在(a,b)使得20222021[f(b)f(a)](b2022a2022)f().四.(15分)(1)将函数cosx2在x0处展开成幂级数.(2)请推导cosx2不定积分的级数表示.五.(15分)(1)叙述函数的一致连续性.(2)设函数f(x)在[0,2023)上一致连续.证明f(x)在[0,2023)上有界.六.(15分)11(1)证明不等式ln(1n)11lnn,n2,3,.2n11(2)设alnn(),n2,3,.证明数列{a}的极限存在.n2nn高等代数部分（75分）2一.（15分）设向量3，(1,2,1)，矩阵Af(x)x22x2，。2（1）求f(A)。（2）判断A是否可逆（须写明理由）。（3）求A2023。科目代码840科目名称数学分析与高等代数综合满分150分xxx2二.（15分）已知线性方程组x1x2x32，其中是参数。1xx2x33123（1）当满足什么条件时，该方程组有唯一解？（2）若该方程组有无穷多解，则取值是多少？求出此时方程组的通解（请用特解和导出方程组的基础解系表示）。三.（15分）现有向量组I：(0,1,1)T，(a,2,1)T，(b,1,0)T，以及向量组II：123(1,2,3)T，(3,0,1)T，(9,6,7)T，其中a，b是实数。123（1）求向量组II的秩。（2）若向量组I线性相关，且可以由向量组II线性表示，求a，b的值。3110四.（15分）已知矩阵A430，A*表示A的伴随矩阵。102（1）求A的特征值和特征向量。（2）求A*的迹与行列式。（3）判断A是否相似于对角矩阵？为什么？a241五.（15分）已知实对称矩阵A2a1有特征向量4。41252（1）求a的值以及对应的特征值。（2）请判断实二次型f(X)XTAX是否正定（须写明理由）。（3）如果非零向量与正交，那么一定是A的特征向量吗？如果是，证明这个结论；如果不是，给出反例。