扬州大学2023年硕士研究生招生考试初试试题（A卷）科目代码822科目名称高等代数（理）满分150注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！1.（15分）设函数f(x)x4+ax32x2bx2，g(x)=sinx.（1）如果f(x)能被(x1)2整除，求a,b；（2）证明：函数g(x)不能表示成多项式.x+2x4x3x02.（15分）k为何值时,线性方程组4x1+5x22x33x4k（1）无解；（2）有解，并在有3x15x26x34x411234解时求出通解.3.（15分）设R22是实数域上的全体二阶矩阵集合，关于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间．求该线性空间中向量组A641014,A711,A,A39161的秩1122340和一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量．4.（15分）设R[x]是实数域上的次数小于n的多项式和零多项式组成的集合，关于多项式n的加法和数乘运算构成线性空间．I,D分别是线性空间R[x]中的恒等变换和微分变换．n（1）证明：ID是可逆线性变换；（2）求R[x]的全部D子空间．n5.（15分）设二次型f(x,x,x)2x25x25x24xx4xx8xx，（1）求一个正交替123123121323换化二次型为标准形，（2）指出方程f(x,x,x)1是何种类型的二次曲面．1236.（15分）设A是n阶的实反对称矩阵，证明：（1）对任意的列向量Rn，有TA0，其中T表示的转置；（2）A2是半负定矩阵；（3）如果A又是幂零矩阵（即存在正整数k，使得AkO），则AO．科目代码822科目名称高等代数（理）满分150121b7.（15分）已知实数矩阵A,B，证明：2a322（1）矩阵方程AXB有解，且BYA无解的充分必要条件是a4,b；34（2）A相似于B的充分必要条件是a=2,b；3（3）A合同于B的充分必要条件是a2,b3．340245248.（15分）化矩阵A为若尔当（Jordan）标准形，并给出矩阵的最小多00320021项式m()和特征多项式f()．AA9.（15分）设V,V是线性空间V的两个有限维子空间，请写出关于V,V的维数公式，并予1212以证明．10.（15分）已知a,a,,a是非零实数，且它们互不相等，矩阵A(a)(n3)，其中12nijnnaaa(i,j1,2,,n)．ijij（1）求行列式|A|的值；（2）求矩阵A的秩；0aaaa121naa0aa（3）计算行列式D212n．aaaan20n1