【状元之路】2016届高考数学理一轮总复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布列6练习（含解析）新人教A版1．[2014·湖北]由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为eq\f(1,2)×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,4)，则所求的概率P＝eq\f(\f(7,4),2)＝eq\f(7,8).选D.答案：D2．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(7),4)解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.由于AB为最大边的概率是eq\f(1,2)，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝eq\f(1,2)x，即AB＝EB或AB＝FA.∴2x＝eq\r(2y2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))2)，即4x2＝4y2＋eq\f(9,4)x2，即eq\f(7,4)x2＝4y2，∴eq\f(y2,x2)＝eq\f(7,16).∴eq\f(y,x)＝eq\f(\r(7),4).又∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(2y,2x)＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(7),4)，故选D.答案：D3．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,10)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,24)解析：记昆虫所在三角形区域为△ABC，且AB＝6，BC＝8，CA＝10，则有AB2＋BC2＝CA2，AB⊥BC，该三角形是一个直角三角形，其面积等于eq\f(1,2)×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于eq\f(A＋B＋C,2π)×π×22＝eq\f(π,2)×22＝2π，因此所求的概率等于eq\f(2π,24)＝eq\f(π,12).答案：A4．[2014·福建]如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－eq\i\in(0,1,)exdx)＝2e－2exeq\o\al(1,0)＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(2,e2).答案：eq\f(2,e2)5．[2014·辽宁]正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．解析：由几何概型概率计算公式可知，所求概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(2\a\vs4\al(eq\i\in(-1,1,))1－x2dx,22)＝eq\f(\f(8,3),4)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)