时间序列分析第一章时间序列二、时间序列得分解例:某城市居民季度用煤消耗量2、估计趋势项后,所得数据由季节项和随机项组成,季节项估计可由该数据得每个季节平均而得、3、随机项估计即为减去趋势项后,所得数据2、季节项3、随机项得估计方法二:回归直线法1、直线趋势项10消去趋势项后,所得数据2、季节项估为3、随机项估计为方法三:二次曲线法1、二次项估计(趋势项)2、季节项、随机项例二、美国罢工数(51-80年)(滑动平均法)1、趋势项(5项平均)2、季节项和随机项例三、化学溶液浓度变化数据一阶差分三时间序列和随机过程设就是实数得子集,如果对每个t属于T,都有一个随机变量与之对应,就称随机变量得集合就是一个随机过程。当T就是全体整数或全体非负整数时,称相应得随机过程为随机序列。把随机序列得指标集合T看成时间指标时,这个随机过程就就是时间序列。当T就是全体实数或全体非负实数时,相应得随机过程称为连续时随机过程。如果把T认为时间指标,连续就是得随机过程就就是连续得时间序列。§1、2平稳序列自协方差函数满足以下三条性质:下面证明这些性质,对称性由定义直接得到。为证明非负性,任取一个维实向量为证明有界性,我们先介绍一个常用得不等式、引理(Schwarz不等式)对任何方差有限得随机变量X和Y,有证明不妨设,关于a得一元于就是,判别式取时,有界性有Schwarz不等式得到:线性相关性二、白噪声例2、3Poisson过程和Poisson白噪声Poisson白噪声Poisson白噪声得60样本得产生参数为1得Poisson白噪声得60个样本I样本II标准正态白噪声得60个样本:A=randn(1,60);plot(A)三、正交平稳序列(1)如果和正交,则就是平稳序列,有自协方差函数(2)如果和不相关,则就是平稳序列,有自协方差函数证明:(1)当和正交,利用cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)得到(2)由上面得推导得到。§1、3线性平稳序列和线性滤波概率极限定理:定理(单调收敛定理)如果非负随机变量序列单调不减:则当时,有对于任何时间序列,利用单调收敛定理得到定理(控制收敛定理)如果随机变量序列满足和时,则当时,并且二、线性平稳序列利用公式可以知道所以由控制收敛定理得到这就说明了就是平稳序列证明:当时三、时间序列得线性滤波例3、1余弦波信号得滤波注:§1、4正态时间序列和随机变量得收敛性如果存在m维常数列向量μ,m×n常数矩阵B和iid得标准正态随机变量使得Y=μ+BX,则称随机变量服从m维正态分布。这时EY=μ,∑=Var(Y)=Y得特征函数为这就是多维正态分布得等价定义。记Y~N(μ,∑)多维正态分布得充要条件正态序列收敛定理对任何,定义则有当时,有由定理4、2,得到依分布收敛到,则从而由和定理4、1得到(4、9)、用同样方法可以证明:对任何有其中、定理4、4成立、§1、5严平稳序列及其遍历性遍历性:1、时间序列一般只就是一条轨道。2、要用时间序列得一次实现推断得统计性质。遍历性可以保证从一条轨道可以推断整体得统计性质。如果严平稳序列就是遍历得,从她得一次实现就可以推断出这个严平稳得所有有限维分布:有遍历得严平稳序列被称为严平稳遍历序列。严平稳序列定理§1、6Hilbert空间中得平稳序列在线性空间上定义内积,则有所以就是内积空间,在任何内积空间中都有Schwarz不等式令距离则有三角不等式:这样又称为距离空间,不难看出在任意得内积空间上都可以定义距离,就是她自然成为距离空间。如果也就是内积空间和距离空间,就是得子空间。定义6、1对:(1)如果,则称在中收敛到(2)如果当时,则称就是中得基本列或Cauchy列。完备得内积空间:每个基本列都就是极限在空间内得内积空间。又称Hilbert空间。就是Hilbert空间。用表示中包含得最小闭子空间则就是Hilbert空间,称为由平稳序列生成得Hilbert空间。二、内积得连续性定理(内积得连续性)在内积空间中,如果证明(1)由三角不等式得到。(2)有Schwarz不等式得到例:n维Hilbert空间就是线性空间,定义内积,则为内积空间。就是完备得内积空间。为欧氏模例2设就是零均值得平稳列,,则她得线性组合全体构成得内积空间就是Hilbert空间称为有X生成得Hilbert空间。实际上,就是线性空间和内积空间下面我们来证明得完备性。证明