13.3直接证明与间接证明一、选择题1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()A小前提错B结论错C正确D大前提错解析大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.答案C[2．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是()A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1D．以上都不对解析“不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.答案B3．下列命题中的假命题是()．A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数解析a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案D4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()．A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定解析∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．答案B5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋eq\f(1,b)、b＋eq\f(1,c)、c＋eq\f(1,a)()．A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D6．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案A7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝()．A．nB．n＋1C．n－1D．n2解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝n.答案A二、填空题8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为.解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.答案a、b都不能被3整除9．要证明“eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．①反证法，②分析法，③综合法．答案②10．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)解析若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案③11．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则a、b应满足的条件是________．解析首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，只需(aeq\r(a)＋beq\r(b))2＞(aeq\r