2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（3分）在等差数列{an}中，a3＝10，a7＝30，则公差d＝．2．（3分）﹣1与﹣4的等比中项是．3．（3分）已知复数（2﹣i）（a+i）是纯虚数，则实数a＝．4．（3分）若关于x的实系数一元二次方程2x2﹣5x+a＝0有一对共轭虚根，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知向量，，则＝．6．（3分）已知向量，，若，则的单位向量的坐标为．7．（3分）已知复数z满足z﹣3i＝iz+5，则||＝．8．（3分）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（2，4）、（11，7），则向量所对应的复数是．9．（3分）已知数列{an}的通项公式为，则＝．10．（3分）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T2＝T5＝32，则T6＝．11．（3分）如图，圆O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，其半径为1，则＝．12．（3分）已知复数列{zn}满足：z1＝1+i，，设复数zn在复平面中对应点Zn．当n无限增大时，点Zn越来越趋近于一个确定的点A，点A的坐标是．二、选择题（本大题共有6题，满分18分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（3分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）设复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1与Z2，则关于点Z1、Z2与以原点为圆心，10为半径的圆C的位置关系，描述正确的是（）A．点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上B．点Z1不在圆C上，点Z2在圆C上C．点Z1、Z2都在圆C上D．点Z1、Z2都不在圆C上15．（3分）现有下列四个结论：①对任意向量、，有；②对任意向量，有；③对任意复数z，有z2＝|z|2；④对任意复数z，有|z2|＝|z|2．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．316．（3分）用数学归纳法证明等式（n+1）（n+2）（n+3）⋯⋯（n+n）＝2n•1•3•⋯•（2n﹣1），其中n∈N，n≥1，从n＝k到n＝k+1时，等式左边需要增乘的代数式为（）A．2k+2B．（2k+1）（2k+2）C．D．2（2k+1）17．（3分）已知△ABC的外心是O，且，，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．18．（3分）著名的斐波那契数列{F}满足：F＝F＝1，F＝F+F（n∈N，n≥2）．记n12n+1nn﹣1数列{Fn}的前n项和为Sn，则（）A．S50＝F50+F51B．S50＝F50+F51﹣1C．S50＝F51+F52D．S50＝F51+F52﹣1三、解䇾题（本大題共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．19．（8分）设向量、满足，．（1）求与的夹角θ；（2）若与垂直，求实数k的值．20．（8分）已知复数z满足，z2的虚部为﹣2．（1）求复数z；（2）若Rez＞0，设z、z2、4z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．21．（10分）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标，A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，A地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉（t10＜t＜30）万立方米的森林．设an为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量（例如a1＝150﹣t）．（1）试写出数列{an}的一个递推公式；（2）设bn＝an﹣4t（n∈N，n≥1），证明：数列{bn}是等比数列；（3）若到2030年末，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最多是多少万立方米？（精确到1万立方米）22．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，，，其中m，n∈（0，1），设DE中点为M，AB中点为N．（1）若m＝n，求证：C、M、N三点共线；（2）若m+n＝1，求||的最小值．23．（10分）已知数列{a