湖南省永州市数学高考自测试题及答案指导一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，若P为双曲线右支上一点，且PF1=4PF2，则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,2]B.(1,53]C.[53,+∞)D.[54,+∞)1.根据双曲线的定义，对于右支上的任意一点P，有：PF1−PF2=2a由题意知：PF1=4PF2代入上式得：4PF2−PF2=2a⇒3PF2=2a⇒PF2=2a32.接下来，考虑双曲线的焦点到原点的距离c，由双曲线的性质知：c2=a2+b2且双曲线的焦距为2c。3.由于P在双曲线的右支上，所以PF2的最小值为c−a（当P在双曲线的右顶点时取到）。因此，我们有：2a3≥c−a整理得：c≤5a34.双曲线的离心率定义为：e=ca代入上述不等式得：e≤53但由双曲线的性质知，离心率e>1。综上，离心率e的取值范围是：(1,53]故答案为：B.(1,53]2、若集合A={x|−1<x≤3}，集合B={x|0≤x<4}，则集合A∩B（两个集合的交集）表示的区间为：A.{x|−1<x<4}B.{x|0≤x≤3}C.{x|−1<x≤3}D.{x|0≤x<4}答案是B。接下来我将给出解析。解析：集合A和集合B的交集A∩B是两者共同的部分。根据给定的区间，我们可以看到集合A的区间是(−1,3]，而集合B的区间是[0,4)。它们共同的部分是从0到3的所有实数，因此交集表示的区间为{x|0≤x≤3}，故正确答案为B。3、在函数f(x)=2x^2-4x+1的图像上，若存在两个不同的点A和B，使得线段AB的中点M在直线y=-x上，则这样的点A和B的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解析：首先，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），线段AB的中点M的坐标为（x，y）。根据中点公式，有：x=(x1+x2)/2y=(y1+y2)/2因为M在直线y=-x上，所以有y=-x。将函数f(x)=2x^2-4x+1代入中点M的坐标公式，得到：y=(2x1^2-4x1+1+2x2^2-4x2+1)/2y=(2x1^2+2x2^2-4x1-4x2+2)/2y=x1^2+x2^2-2x1-2x2+1因为y=-x，所以：-x=x1^2+x2^2-2x1-2x2+1整理得：x1^2+x2^2-2x1-2x2+1+x=0这是一个关于x1和x2的二次方程。为了使方程有解，其判别式Δ必须大于或等于0。计算判别式：Δ=(-2)^2-4(1)(1+x)=4-4-4x=-4x为了使Δ≥0，有：-4x≥0x≤0由于x1和x2是实数，且函数f(x)是一个开口向上的抛物线，所以x1和x2可以是任意实数，因此有无数个解。但题目要求的是不同的点A和B，因此我们需要找到满足条件的不同实数解。考虑函数f(x)的图像，它是一个开口向上的抛物线，其顶点坐标为（1，-1）。因为中点M在直线y=-x上，所以M的横坐标x必须小于等于0。当x=0时，方程变为：x1^2+x2^2-2x1-2x2+1+0=0x1^2+x2^2-2x1-2x2+1=0这是一个关于x1和x2的二次方程，其解表示函数f(x)的图像上满足条件的点A和B。由于抛物线在y=-x上的对称性，这样的点A和B有两组，每组有两个不同的点。因此，满足条件的点A和B的个数是2个。选项B正确。4、若函数fx=2x−1在区间[0,1]上是增函数，那么函数gx=log2x+1在区间[-1,0]上的性质是：A.减函数B.增函数C.先增后减D.先减后增答案：B解析：由于fx=2x−1是增函数，因此其导数f′x=2xln2>0在区间[0,1]上恒成立。根据复合函数的导数法则，gx=log2x+1的导数为g′x=1x+1ln2，显然g′x>0在区间[-1,0]上恒成立。因此，函数gx=log2x+1在区间[-1,0]上是增函数。5、已知函数fx=x3−3x+1，则该函数在区间−2,2上的最大值为：A.1B.3C.9D.5答案:B.3解析:要求函数fx=x3−3x+1在区间−2,2上的最大值，我们可以通过求导来找到可能的极值点。计算一阶导数并令其等于零，可以找到临界点。然后比较这些临界点以及区间端点处的函数值，从而确定最大值。现在让我们计算函数的一阶导数，并解方程f′x=0来找到临界点。之后，我们将比较这些临界点以及区间端点上的函数值。经过计算，函数fx=x3−3x+1在区间−2,2上的临界点为−1和1。对应的函数值分别为3和−1。此外，在区间端点−2和2处的函数值均为−1和3。因此，该函数在给定区