广义Fermat猜想及Beal猜想初等证明12（作者）赵坚（审稿人）王云葵（黑龙江省林口县中医院信息科）（广西民族大学数学与计算机科学系）4（审稿人）佟瑞洲3（审稿人）曹珍富（辽宁省师范高等专科自然科学学报常务主编）（上海交通大学计算机科学与电子工程系）摘要：利用双曲线(αβ−(α+β))xy=αβ(x+y)基本性质,给出广义Fermat方程ax+by=cz,(a,b)=1,仅有4组正整数组合解(,,)xyz=(2,3,7),,,(2,3,8)(2,3,9)(2,4,5)，使广义Fermat方程ax+by=cz均有正整数解；并且证明x,,yz均大于2时，ax+by=cz均无正整数解,从而证明了Beal猜想.关键词：丢番图方程；广义Fermat猜想；Beal猜想；正整数组合解广义Fermat猜想与Beal猜想[1]1995年AndrewWilew奇妙地证明了Fermat大定理后,H.Darmod,A.Granville提出了广义Fermat猜想：丢番图方程：ax+by=cz,(a,b)=1（1）111++<1（2）xyz仅有下表中4类10组正整数解：类广义Fermat方程类型双曲线mn=m+n1425，245nmnmn+13−7=2122−11=3ABC−=±n=m=2232−23=19，132+73=29ABCn±m=mn+m315490342+338=156133，300429072−438=962223ABCn−m=±mn+nmn=m+n+1221349592+14143=657，153122832+92623=1137n=2,m=34ABCn±m=mn+1210639282−762713=177，712−173=27由类型知道：(1)由4组正整数组合解(x,y,z)=(2,3,7),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5)组成，我们只要能够证明仅这4组组成，正是下面需要的工作。[2]1997年AndrenBeal为如下猜想设了大奖：如果x,,yz均大于2，那么（1）无正整数解。1111丢番图方程+++=1.（3）xyz[,,]xyz定理1：[,,]xyz是x,,yz最小公倍数；仅有12组正整数组合解满足（3）：(x,y,z)=(2,3,7),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5);(2,3,12),(2,4,6),(2,4,8);(2,5,5)(2,6,6),(3,3,4),(3,3,6),(4,4,4).注：定理1证明附后。定理2：[,,]xyz是x,,yz最小公倍数。仅4组正整数组合解(x,y,z)=(2,3,7),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5)，使（1）和（3）同时有正整数解，并且x,,yz均大于2时，除开(x,y,z)=(3,3,4),(3,3,6),(4,4,4)外，（3）无正整数解。注：显然，定理2是定理1的直接推论。定理3：仅有4组正整数组合解(x,y,z)=(2,3,7),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5)，使（1）有正整数解，并且x,,yz1作者简介:赵坚(1962—),男,黑龙江林口人,林口县中医院信息科,统计师,从事数论研究2审稿人简介:王云葵(1966—),男,广西灌阳人,广西民族大学数学与计算机系教授,学士,广西数学奥林匹克研究中心主任,从事数论研究3审稿人简介:佟瑞洲(1962—),男,,辽宁凌源人,辽宁省师范高等专科学校,教授,东北大学理学学士,从事数论研究.代表著作《广义费马方程与指数丢番图方程》《初等数论与丢番图方程》《高等数学》（上中下册）.4审稿人简介:曹珍富(1962—),男,江苏滨海人,上海交通大学计算机科学与工程系教授,博士生导师,美国数学会会员,美国《数学评论》评论员，《计算机应用研究》特约通讯员.从事数论研究,代表著作《丢番图方程引论》《公钥密码学》1均大于2时（1）无正整数解。1111丢番图方程++−=1.（4）xyz[,,]xyz111111111+<1，+<1，+<1，丢番图不等方程++>1.（5）xyyzzxxyz定理4：仅有3组正整数组合解(x,y,z)=(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)满足（4），并且使（1）均有正整数解。仅有3组正整数组合解(x,y,z)=(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)满足（5），并且使（1）均有正整数解。132+73=83，23+13=3215490342+10894=156133，962223+18494=300429072a2+b3=c5，a2+b5=c3，a3+b5=c2中至少有一组有正整数解：369347901658572+240