复变函数第4讲§5复变函数1.复变函数的定义在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y,而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y),v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.例如,考察函数w=z2令z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy2.映射的概念设函数w=z,2a由于函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy.(1.5.1)因此,它把z平面上的两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2,10函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy.(1.5.1)如果确定直线x=l(常数)与y=m(常数),直线x=l的象的参数方程为u=l2-y2,v=2ly,消去参数y得直角坐标方程为v2=4l2(l2-u)同理可得直线y=m的象的方程为v2=4m2(m2+u)u假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点.按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w),它称为函数w=f(z)的反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知,对任意的wG*,有w=f[j(w)],当反函数为单值函数时,也有z=j[f(z)],zG今后,我们不再区分函数与映射(变换).如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合G与集合G*是一一对应的.§6复变函数的极限和连续性1.函数的极限定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0<d),使得当0<|z-z0|<d时有|f(z)-A|<e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时,它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中.应当注意,z趋向于z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一常数A.极限示意定理一设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则证必要性:充分性:定理二例证明函数当z0时的极限不存在[证]令z=x+iy,则由此得显然,它随k的不同而不同,所以此题也可以用另一种方法证明,令z=r(cosq+isinq),则2.函数的连续性定义例如,函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在复平面内除原点外处处连续,因为u=ln(x2+y2)除原点外是处处连续的,而v=x2-y2是处处连续的.定理四1)在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在z0不为零)在z0处连续;2)如果函数h=g(z)在z0处连续,函数w=f(h)在h0=g(z0)连续,则复合函数w=f[g(z)]在z0处连续.由以上定理,可以推得有理整函数(多项式)w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn对复平面内所有的z都是连续的,而有理分式函数还应指出,所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指