第6章统计量及其抽样分布第6章统计量及其抽样分布6.1统计量6.2关于分布的几个概念6.3由正态分布导出的几个重要分布6.4样本均值的分布与中心极限定理6.5样本比例的分布6.6两个样本均值之差的分布6.7关于样本方差的分布6.1统计量6.1统计量定义6.1设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。对于T(X1，X2，…Xn),也称样本统计量。当获得样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T，就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn)。6.1统计量6.1统计量6.1.3次序统计量6.1.4充分统计量在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量具有重要意义。在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆斯在20世纪40年代提出的。【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除了前3个是不合格品（记为X1=1,X2=1,X3=1）外，其他都是合格品（记为Xi=0,i=4,5,…,100）。当企业领导问及抽检结果时，质检员给出如下回答：（1）抽检的100个元件中有3个不合格；（2）抽检的100个元件中前3个不合格；6.2关于分布的几个概念6.2关于分布的几个概念当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限分布常称为统计量的渐近分布；第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的渐近分布；不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。6.2.3随机模拟获得的近似分布1.背景2.思想设有一个统计量T(X1，X2，…Xn)，其中n为样本容量，求统计量T的分布函数F(n)(t)；可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中抽取容量为n的样本，然后计算其统计量的值；当这种试验进行了N次时，就得到统计量T的N个观测值：T1，T2，…，TN；根据这N个观测值可做其经验分布函数FN(n)(t)的一个很好的近似。6.3由正态分布得到的几个重要分布6.3由正态分布得到的几个重要分布定义6.4设随机变量X～N(0,1),Y～，且X与Y独立,则当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.1.设X1，X2，…Xn是来自正态分布N(μ,σ2)的一个样本，证明：因为Xi服从正态分布,所以也服从正态分布2.设X和Y是两个相互独立的总体，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本，Y1，Y2，…，Ym是来自Y的样本，记证明：6.3.3F分布定义6.5设随机变量Y与Z相互独立，且Y与Z分别服从自由度为m和n的分布样本均值的抽样分布（一个例子）现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表计算出各样本的均值，如下表。所有样本均值的均值和方差6.4样本均值的分布与中心极限定理对于均值为μ，方差为σ2的任意总体分布，当n比较大时,且σ2有限,总有中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。最早的中心极限定理是在18世纪初由德莫佛所证明的，即二项分布以正态分布为其极限分布定理。现在的中心极限定理是19世纪20年代林德伯格和勒维证明的在任意分布的总体中抽取样本，其样本均值极限分布为正态分布。【例6.4】设从一个均值μ=10、标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体不是很偏的,要求:(1)计算样本均值小于9.9的近似概率。(2)计算样本均值超过9.9的近似概率。(3)计算样本均值在总体均值μ=10附近0.1范围内的近似概率。【例6.5】某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个月,标准差为6个月的寿命分布。现假设质检部门决定检验该厂的说法是否准确,为此随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行试验。(1)假定厂商声称是正确的,试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布。(2)假定厂商声称正确,则50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率为多少?(2)如果厂商声称是正确的，则观察到50个电瓶的平均寿命不超过57个月的概率为:6.5样本比例的抽样分布6.5样本比例的抽样分布由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，当n充分大时，的分布可用正态分布逼近。此时服从均值为π、方差为的正态分布。【例6.7】假定某统计人员在其填写的报表中有2%至少会有一处错误，如果我们检查了一个由600份报表