2中等数学●数学活动课程讲座●利用一个基本图形证明线段相等的再认识潘铁(天津市实验中学,300074)(本讲适合初中)由PC∥FK知文[1]中利用平行线束作媒介证明线段OPE=KFE.相等的方法非常有效.这种用平行线束证明故KFE=OBN.问题的方法是数学竞赛中解决平面几何问题从而,F、M、N、B四的常用方法.点共圆,有FNM=FBM1一道试题=E.图2题目如图1,因此,MN∥KE.设AB、CD为O的易知EN=NF,有FM=MK.两直径,过点B作PB又HG∥FK,因此,OG=OH.AB,并与CD的延2一个基本图形长线交于点P,过P作直线PE与O分过一点的三条直线被两条平行线所截,别交于E、F两点,联截得的对应线段成比例(如图3、4).图1结AE、AF分别与CD交于点G、H.求证:OG=OH.(2002,我爱数学初中生夏令营数学竞赛)分析:本题并非新题,在文[2]中已介绍.但夏令营营员中能做出的仍少之又少,原图3图4因在于线段相等与圆无法联系.如果利用平这种基本图形实际上是以O为位似中行线束,考虑与之平行的其他直线上的线段心的位似形,两个三角形的对应边等于位似相等,则问题迎刃而解.比.在处理某些平面几何问题时,可用这个基证明如图过点作∥交:2,FFKCDAE本图形将要研究的同一直线上的线段关系投于点K,交OB于点M,过O作ONFE,垂影到其他平行线上来研究.足为N,联结MN、FB.由ABPB,ONPF,知P、O、N、B四3一些应用点共圆.例1在五角星形ABCDE中,相交线段所以,OBN=OPN.的交点字母如图5所示.已知AQ=QC,BR=收稿日期:2009-04-17RD,CR=RE,DS=SA.求证:BT=TP=PE.2009年第11期3(2006,北京市例3如图8,在△ABC中,AB>BC,从中学生数学竞赛(初点B出发的中二))线和角平分线分析:本题中点分别交AC于点条件非常丰富,利用M、L,MD∥AB图5中位线和倍长中线交BL于点D,图8知识会发现不少平行线,将要证的线段投影LE∥BC交BM到平行线束上,就不难发现结论了.于点E、交MD于点X.求证:EDBL.证明:如图6,联结AE并延长交CD的(2000,国家集训队测试题)延长线于点M,联结BC、DE.分析:本题也是补成平行线束的基本图形.证明:如图8,延长MD交BC于点P.由AB∥MD,AM=MC,得BP=PC.又由EL∥BC,得EX=XL,且ABL=CBL.图6所以,XDL=DLX.由CR=RE,BR=RD,知四边形BCDE从而,XD=XL.为平行四边形.故BE∥CD.故XE=XD=XL.因为AQ=QC,CR=RE,QR∥AE,所以,因此,EDBL.四边形BEMD为平行四边形.注:也可用塞瓦定理证得C、D、E三点共从而,CD=BE=DM.线,将图形补成等腰三角形.因为TE∥CM,所以,TP=PE.例4如图9,O1和O2交于点M、同理,BT=TP.N.设l是O1和O2的两条公切线中距M则BT=TP=PE.较近的那一条.l与O1切于点A、与O2切例2如图7,已知AB是O的直径,于点B.设经过点M且与l平行的直线与BC是O的切线,O1交于点C、与O2交于点D,直线CA与OC平行于弦AD.BD交于点E,直线AN与CD交于点P,直线过点D作DEABBN与CD交于点Q.求证:EP=EQ.于点E,联结AC与DE交于点P.问:EP与PD是否相图7等?证明你的结论.(2003,“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛)证明:如图7,延长AD交BC的延长线于点F.图9因为OC∥AD,AO=OB,所以,BC=CF.(第41届IMO)又ED∥BF,故EP=PD.4中等数学分析:本题要证线段相等,实质上是利用AKDL证明:由AB∥CD,=,知AD、KL、等腰三角形三线合一,可以利用对称证明垂KBLC直,再利用平行线束证中点即可.BC交于一点S.如图11,设证明:如图9,设O1和O2的公切线AB交公共弦MN的延长线于点W.由切割线AP、DQ交于点定理得AW2=WM·WN=WB2,即AW=WB.E,BP、CQ交于由基本图形知PM=MQ.点F.则由于l切两圆于点A、B,且l∥CD,故EPF+EAB=C=AMC=MAB.EQF同理,EBA=D=BMD=MBA.=BCD+图11所以,点E、M关于l对称,EMPQ.ABC又PM=MQ,故EP=EQ.=180°.例5如图10,△ABC的内切圆O分故E、Q、F、P四点共圆.别切BC、CA、AB对△ASP及截线DEQ,