第二章导数及其应用§4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则~4.2导数的乘法与除法法则课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列运算中正确的是()A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'B.(sinx-2x2)'=(sinx)'-2'(x2)'C.sinxx2'=(sinx)'-(x2)'x2D.(cosx·sinx)'=(sinx)'cosx+(cosx)'cosx答案A解析(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)',故A正确;(sinx-2x2)'=(sinx)'-2(x2)',故B错误;sinxx2'=(sinx)'x2-sinx(x2)'x4,故C错误;(cosx·sinx)'=(cosx)'sinx+cosx(sinx)',故D错误.2.函数f(x)=xcosx-sinx的导函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数答案B解析f'(x)=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令F(x)=-xsinx,x∈R,则F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x),∴f'(x)是偶函数.3.已知f(x)=cosx2sinx2-cosx2,则f'π4=()A.22B.1或-1C.0D.-22答案A解析∵f(x)=cosx2sinx2-cosx2=12(sinx-cosx)-12.∴f'(x)=12(cosx+sinx)=22sinx+π4.∴f'π4=22sinπ2=22.4.已知函数f(x)=f'π4cosx+sinx,则fπ4的值为.答案1解析∵f'(x)=-f'π4sinx+cosx,∴f'π4=-f'π4×22+22,解得f'π4=2-1,∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,∴fπ4=1.5.设f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.答案516解析由题意知f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,∵h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)g2(x),∴h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)g2(5)=3×4-(5+2)×142=516.6.求下列函数的导数:(1)f(x)=(1+sinx)(1-4x);(2)f(x)=xx+1-2x(x≠-1).解(1)f'(x)=(1+sinx)'(1-4x)+(1+sinx)·(1-4x)'=cosx(1-4x)-4(1+sinx)=cosx-4xcosx-4-4sinx.(2)f(x)=xx+1-2x=1-1x+1-2x,则f'(x)=1(x+1)2-2xln2(x≠-1).关键能力提升练7.设曲线f(x)=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.12C.-12D.-2答案D解析∵f(x)=x+1x-1=1+2x-1,∴f'(x)=-2(x-1)2(x≠1),∴f'(3)=-12.∴-a×-12=-1,即a=-2.8.已知f(x)=14x2+cosx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图象是()答案A解析函数f(x)=14x2+cosx,f'(x)=x2-sinx,x∈R,f'(-x)=-x2-sin(-x)=-x2-sinx=-f'(x),故f'(x)为奇函数,故函数图象关于原点对称,排除B,D,f'π6=12×π6-sinπ6=π12-12<0.故C不对,A正确.9.若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=exa(a>0)存在公共切线,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.1,e24C.e24,2D.e24,+∞答案D解析y=x2在点(m,m2)(m≠0)处的切线斜率为2m,y=exa(a>0)在点n,1aen处的切线斜率为1aen,如果两个曲线存在公共切线,那么2m=1aen.又由斜率公式可得2m=m2-1aenm-n,由此得到m=2n-2,则4n-4=1aen有解,所以函数y=4x-4与y=1aex的图象有交点即可.当直线y=4x-4与函数y=1aex的图象相切时,设切点为(s,t),则1aes=4,且t=4s-4=1aes=4,得s=2,即有切点(2,4),a=e24,故实数a的取值范围是e24,+∞.故选D.10.(多选题)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值可以是()A.1B.164C.132D.-164答案AB解析因为(0,0)在直线l上,当O(0,0)